U apstraktnoj algebri monoid je algebarska struktura s jednom asocijativnom binarnom operacijom i neutralnim elementom.
Definicija Monoid je skup M s binarnom operacijom * : M × M → M, te za koji vrijede sljedeći aksiomi: Zatvorenost: (za svake a i b iz M, a*b je također u M) Asocijativnost: Neutralni element: (postoji element e iz M, takav da je za svaki a iz M vrijedi a*e = e*a = a.)
Također možemo reći da je monoid polugrupa s neutralnim elementom.
Monoid zadovoljava sve aksiome grupe osim postojanja inverza.
Primjeri Svaki jednočlani skup {x} tvori monoid koji ima samo jedan element. Za fiksirani x je taj monoid jedinstven jer aksiomi monoida zahtijevaju da u ovom slučaju bude x*x = x. Svaka grupa je monoid. Svaka polugrupa S se može pretvoriti u monoid tako da joj dodamo element e koji nije u S i definiramo e*e = e i e*s = s*e = s, za svaki s ∈ S. Neka je S skup. Tada je skup svih funkcija S → S s operacijom kompozicije funkcija monoid. Neutralni element je funkcija identiteta, tj.f : S → S takva da je f(s) = s, za svaki s ∈ S.
Svojstva Izravno iz definicije se može pokazati da je neutralni element jedinstven: Pretpostavimo da postoje dva neutralna elementa, e1 i e2. Tada je: e1 = e1*e2 = e2
Kategorija:Algebarske strukture Kategorija:Teorija kategorija