A csoportelméletben Frattini-részcsoport a neve egy csoport maximális részcsoportjai metszetének. A csoport Frattini-részcsoportját hagyományosan -vel jelöljük. Ezt a részcsoportot Giovanni Frattini olasz matematikus definiálta először 1885-ben egy a témával foglalkozó cikkben. A kommutatív gyűrűk Jacobson-radikáljának analógja.
Definíció Egy csoport valódi részcsoportját maximális részcsoportnak nevezzük, ha nincs -ben olyan részcsoport, hogy . Jelölje az összes maximális részcsoport metszetét. Akkor , mint részcsoportok metszete, maga is részcsoport, és ezt nevezzük Frattini-részcsoportjának.
Példák
-nek, a 49 elemű ciklikus csoportnak a hetedrendű elemek által generált csoport a Frattini-részcsoportja, hiszen ebben a csoportban csak ez az egy maximális részcsoport van.
A Klein-csoportban három maximális részcsoport van; ezek mindhárman kételeműek, és így metszetük csak a triviális csoport lehet. A Klein-csoport Frattini-részcsoportja tehát az egyelemű csoport.
Az egész számok additív csoportjában tetszőleges prímszámra maximális részcsoportot alkotnak többszörösei. Ezek metszete egyelemű (csak a 0-t tartalmazza), így ennek a csoportnak is triviális a Frattini-részcsoportja.
Tulajdonságai Mivel az automorfizmusok a maximális részcsoportokat maximális részcsoportokba viszik, a Frattini-részcsoportot magát helyben hagyják, és így karakterisztikus részcsoportja -nek, és így persze normálosztó is.
Ha véges, akkor nilpotens csoport.
A véges p-csoport Frattini-csoportja megkapható a p-edik hatványok részcsoportjának és a kommutátor-részcsoportnak a komplexusszorzataként.BZ Ádám a csoportalgebrákról
Ha egy véges csoport Frattini-részcsoportja triviális, akkor a csoport centrumának az indexe legfeljebb akkora, mint a kommutátor-részcsoport rendjének a négyzete.
Nyitott kérdés, hogy két csoport direkt szorzatának Frattini-részcsoportja megegyezik-e a Frattini-részcsoportjaik direkt szorzatával.
Nemgenerátorok A csoport részhalmaza generátorhalmaz, ha minden eleme előáll elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. Valamely elemet nemgenerátornak hívunk, ha minden -et tartalmazó generátorhalmaz az elem nélkül is generálja a csoportot. Az egységelem például minden csoportban nemgenerátor. Egy csoport nemgenerátorai maguk is csoportot alkotnak, és ez a csoport éppen a Frattini-részcsoport.
Jegyzetek
Kategória:Csoportelmélet