thumb|right|A Simpson módszer lényegében az f (x) (kék) függvényt a P (x) (piros) függvénynyel közelíti . A numerikus analízisben a Simpson-módszer egy numerikus integrálási módszer, amellyel a határozott integrál numerikus értékét közelítjük meg, mégpedig a következő képlettel:
.
A módszer Thomas Simpson (1710–1761) angol matematikus munkája.
Levezetés A Simpson-módszert többféleképpen is levezethetjük.
Középpont és trapéz szabály Lényegében az
az f (x) függvény x tengellyel bezárt területét jelenti. Ezt a területet megközelíthetjük kétféleképpen, mégpedig a középpont-szabállyal:
és a trapéz-szabállyal:
A közelítés úgy lesz a legpontosabb, ha a következő súlyozott közepet vesszük:
S ha elvégezzük a szükséges számításokat, akkor megkapjuk a Simpson szabályt.
Algoritmus A függvény, amit integrálni szeretnénk: , a intervallumon, 10-es felosztással. import math def Fx(x): return math.exp(x) def SimpsonIntegralas(a,b,n): h=(b-a)/n x=a+h s=0.0 for i in range (1, n/2, 1): s=s+2*Fx(x)+Fx(x+h) x=x+2*h return h/3*(2*s+Fx(a)+Fx(b)+4*Fx(b-h)) print 'Simpsonintegral:', SimpsonIntegralas(0.0,5.0,10) Az algoritmus a 147.4628 értéket adja vissza, míg a pontos érték a: 147.4131
3/8 Simpson-módszer Ez a módszer egy pontosabb numerikus integrálási módszer, amelyet szintén Thomas Simpson javasolt. Itt a következőképpen közelítjük meg az integrált:
Ez a módszer körülbelül kétszer olyan pontos, mint a hagyományos, de felhasznál még egy függvényértéket.
Hivatkozások
.
További információk
Simpson's Rule for Numerical Integration Application of Simpson's Rule - Earthwork Excavation Simpson's 1/3rd rule of integration - Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple at Numerical Methods for STEM undergraduate
Kategória:Numerikus analízis