Lépcsős függvényeknek hívjuk az olyan valós függvényeket, amelyek felírhatóak intervallumok indikátorfüggvényének (karakterisztikus függvény) lineáris kombinációjaként.
Más szóval: a lépcsős függvények szakaszosan konstans függvények, melyek csak végesen sok részből állnak.
jobbra|bélyegkép|300px |Példa a lépcsős függvényre (vörös vonal), itt a lépcsős függvény jobbra folytonos
Definíciók, következtetések
függvényt lépcsős függvénynek hívják, ha felírható, mint:
az összes valós számra
ahol valós számok, intervallumok, és az indikátorfüggvénye:
Ebben a definícióban az intervallumoknak a következő két tulajdonsága van:
Az i-edik és j-edik intervallumnak nincs közös része: , ha Az intervallumok uniója a valós számok halmaza,
Példák
jobbra|bélyegkép|300px |Egységugrás-függvény
A konstans függvény egy triviális példája a lépcsős függvénynek. Itt csak egy intervallum van:
Az egységugrás (Heaviside-függvény) H(x) egy fontos lépcsős függvény . A négyszögfüggvény a következő egyszerű lépcsős függvény. A négyszögfüggvény egy normalizált „boxcar” függvény, mely a teljes valós számtartományban zérussal egyenlő, kivéve egy intervallumot, ahol konstans értéke van. Az elektronikában használják egységimpulzusként.
jobbra|bélyegkép|300px |Négyszögfüggvény
Ellenpéldák
Az egészrész függvény nem lépcsős függvény, mivel végtelen sok intervallummal rendelkezik. Egyes szerzők ezt is lépcsős függvénynek hívják, azzal a megjegyzéssel, hogy végtelen sok intervallummal rendelkezik.Példa:
Tulajdonságok
Két lépcsős függvény összege és szorzata is lépcsős függvény. Egy lépcsős függvény szorzata egy számmal lépcsős függvény. A lépcsős függvények értékei csak véges számok lehetnek. Ha az intervallumoknak a fent definiált lépcsős függvényben nincsenek közös részeik, és valós számok, akkor minden -re igaz.
Egy lépcsős függvény Lebesgue-integrálja, , ahol az intervallum hossza, és feltételezzük, hogy véges hosszúságú. Valójában ez az egyenlőség lehet az első lépés egy Lebesgue-integrál létrehozására.
Fordítás
Irodalom
Jegyzetek
Kategória:Függvények