A matematikában a Leibniz-féle jelölés a dx és dy szimbólumokat jelenti, melyek az x és y infinitezimális, azaz minden határon túl a zérushoz tartó kis változásait jelenti. Ezt a jelölést a 17. században élt Gottfried Wilhelm Leibniz német filozófusról és matematikusról nevezték el.
x szerinti deriváltja Leibniz után:
azaz, y infinitezimális növekménye és az x infinitezimális növekményének a hányadosa, vagy
ahol a jobb oldal a Lagrange-féle jelöléssel az f(x) deriváltja x szerint. A modern infinitezimális elmélet szempontjából a az infinitezimális x-növekmény, pedig ennek megfelelően az y növekménye, és a derivált az infinitezimális arány standard része: .
Majd ha , , így definíció szerint az a dy és dx aránya. Hasonlóképpen, matematikusok gyakran így tekintenek egy integrált
mint egy határértéket
ahol Δx egy intervallum, mely xi-t tartalmazza. Leibniz ezt úgy tekintette, mint (az integrál jel utal a szummázásra) végtelen sok infinitezimális f(x) dx mennyiség szummájára. A modern megfogalmazás szerint korrektebb ezt az integrált úgy tekinteni, mint az ilyen mennyiségek végtelen szummájának a standard részét.
Történet Az infinitezimális számítás Newton–Leibniz-féle megközelítését a 17. században vezették be. Míg Newtonnak nem volt standard jelölése az integrálásra, Leibniz az szimbólumot kezdte használni. Ennek a karakternek az elnevezését a latin summa (összegzés) szóra alapozta, melyet a Németországban általánosan használt nyújtott s betűvel ſumma alakban írt. A szimbólumot először az Acta Eruditorum 1686-os kiadásában használták nyilvánosan, de Leibniz már legalább 1675 óta alkalmazta azt magánjegyzeteiben.Mathematics and its History, John Stillwell, Springer 1989, p. 110Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, J. M. Child, Open Court Publishing Co., 1920, pp. 73–74, 80. A 19. században néhány matematikus logikailag hibásnak vélte Leibniz koncepcióját (Cauchy, Weierstrass és mások), miközben a Leibniz-féle jelölést továbbra is használták. 1960-ban Edwin Hewitt, Jerzy Łoś, és Abraham Robinson kidolgozott egy szigorú matematikai magyarázatot Leibniz eredeti jelölésére, mely a nemstandard analízisen alapul.
Leibniz-féle jelölés differenciálásra A Leibniz-féle jelölés differenciálásra, az f(x) függvényre:
Ha van egy változónk, mely egy függvényt jellemez, legyen például
akkor a deriváltja:
A Lagrange-féle jelöléssel:
A Newton-féle jelöléssel:
Magasabb fokú deriváltakra:
Ez abból a tényből következik, hogy például, a harmadik derivált:
melyet így is írhatunk:
Elhagyva a zárójeleket:
A láncszabályt és a részenkénti integrálást könnyű itt kifejezni, mert a "d" kifejezés „eltűnik”:
stb…., és:
Irodalom Baron, Margaret E.: The origins of the infinitesimal calculus. Dover Publications, Inc., New York, 1987. Baron, Margaret E.: The origins of the infinitesimal calculus. Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York 1969. (A new edition of Baron's book appeared in 2004) Lavendhomme, R.: Basic concepts of synthetic differential geometry, Kluwer, Dordrecht, 1996 O'Connor, Michael: An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis
Jegyzetek
Kapcsolódó szócikkek Riemann-integrál Binomiális tétel Parciális derivált
Kategória:Matematikai jelölések Kategória:Matematikatörténet Kategória:Analízis