A valószínűségi mező a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Olyan folyamatokat (vagy „kísérleteket”) modellez, amelyeknek köze van a véletlenhez.
Definíció
A rövid definíció szerint a valószínűségi mező egy olyan mértéktér, ahol a teljes tér mértéke 1. Bővebben:
Legyen tetszőleges halmaz. Ha a hatványhalmaz egy részhalmaza σ-algebra, azaz , vagyis az üreshalmaz -beli, minden halmaz esetén , vagyis az -ra vett komplementer halmaz is -beli, és minden halmazsorozat esetén ,
és létezik egy mérték, hogy , , és minden páronként diszjunkt halmazokból álló halmazsorozat esetén ,
akkor az hármast valószínűségi mezőnek nevezzük.
bélyegkép|jobbra|410px|Szerencsekerék modellezése valószínűségi mezővel: az összes lehetséges kimenetel itt . Az alaphalmaz részhalmazainak valószínűségét szektora szögének a teljesszöghöz (360°) viszonyított nagysága adja meg Ez a definíció azt is jelenti, hogy a valószínűség fogalma tisztán axiomatikus felírással is kezelhető, és nemcsak empirikusan – ahogy azt von Mises leírta. Alapvető az a gondolat, hogy a véletlen kísérlet összes kimenetét egymást kizáró eseményekként adjuk meg. Például egy szerencsekerék csak egy pozícióban állhat meg, ami egy adott null pozícióhoz képest mérhető. A mellékelt kép által mutatott példában csak az 1, 2, 3 számokhoz tartozó tartományokban állhat meg; egy mechanizmus akadályozza meg, hogy pont két szám határára essen (aminek egyébként is nulla a valószínűsége). Emiatt nem következhet be két elemi esemény, ezek diszjunktak. Ez alapozza meg az összeadási tétel kiterjesztését: Véges sok, egymást kölcsönösen kizáró esemény együttes valószínűsége az egyes események valószínűségeinek összege.
Elnevezések Az halmaz eseménytér. Az elemeket kimeneteleknek, vagy néha pongyolán elemi eseményeknek nevezzük; bár elemi eseménynek inkább az ezeket egyetlen elemként tartalmazó halmazokat célszerű nevezni, hiszen a mértékfüggvény halmazokon értelmezett, lásd alább. Az σ-algebra az eseményalgebra. Az halmazok események. Az egyetlen lehetséges kimenetelt tartalmazó halmazok az elemi események A mértékfüggvény a valószínűségi mérték, röviden a valószínűség. Az esemény biztos esemény, mert . Az esemény lehetetlen esemény, mert . Az esemény az esemény komplementere. Az hármast valószínűségi mezőnek vagy valószínűségi térnek nevezzük.
Példák
Példák diszkrét valószínűségi mezőre
Általánosabban, diszkrét valószínűségi mezőről van szó, ha az eseménytér véges vagy megszámlálhatóan végtelen, és eseményalgebrája a hatványhalmaz, vagyis . Ebben az esetben nincsen szükség a σ-algebra fogalmának bevezetésére, diszkrét valószínűségi mezőről beszélhetünk.
Klasszikus valószínűségi mező Legyen véges halmaz, és minden halmaz esetén . Ekkor az valószínűségi mezőt klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük.
Akkor is beszélnek diszkrét valószínűségi mezőről, ha az eseménytér tetszőleges, de a valószínűségek mindig egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz elemeit veszik fel, azaz ennek a halmaznak 1 a valószínűsége.
Bernoulli-mező
Ha az alaphalmaz, a valószínűségek pedig , akkor Bernoulli-mezőről van szó.
Poisson-eloszlásból származtatott A természetes számok halmaza, mint eseménytér, azaz , minden természetes szám lehetséges kimenetel.
Az események ennek véges vagy megszámlálható végtelen részhalmazai.
Valószínűségi mérték lehet a Poisson-eloszlás. A szám valószínűsége , ahol pozitív paraméter.
Ezzel diszkrét valószínűségi tér.
Példák nem diszkrét valószínűségi mezőre Geometriai valószínűségi mező Legyen olyan Lebesgue-mérhető halmaz, amelynek Lebesgue-mértéke véges. Legyen az halmaz Lebesgue-mérhető részhalmazainak -algebrája és minden esemény esetén . Ekkor az valószínűségi mezőt geometriai valószínűségi mezőnek nevezzük.
Ezt úgy tudjuk szemléltetni, hogy a darts játékhoz hasonlóan egy síkbeli alakzatra dobálunk véletlenszerűen nyilakat. Annak a valószínűsége, hogy valamely belső alakzatra esik a nyíl, a belső alakzat területének és az eredeti alakzat területének a hányadosa.
Exponenciális eloszlásból származtatott Az eseménytér a nemnegatív számok halmaza.
Az események az Borel-részhalmazai, azaz . Ezzel minden nyílt, zárt, félig nyílt intervallum, ezek egyesítése, metszete és komplementere esemény.
Valószínűségi mérték lehet az exponenciális eloszlás, ami minden Borel-halmazhoz a
valószínűséget rendeli, ahol paraméter.
Ezzel valószínűségi mező.
További példák Indukált valószínűségi mező, ami egy valószínűségi változó képtere, ellátva a valószínűségi változó eloszlásával mint valószínűséggel. Teljes valószínűségi mező, teljes mértéktér a valószínűséggel mint mértékkel. Szorzattér Szűrt valószínűségi mező, valószínűségi mező szűrővel.
Kapcsolódó szócikkek Valószínűségi változó Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás