Bézout tétele az algebrai geometria egy kijelentése, ami két síkbeli algebrai görbe metszéspontjainak számáról ad felvilágosítást. Eszerint ha a két görbének nincs közös komponense (azaz végtelen sok közös pontja), akkor a metszéspontok száma legfeljebb a két görbe fokszámának szorzata. Egyenlőség akkor áll fent, ha ha ehhez minden pontot a multiplicitásával veszünk figyelembe, hozzávesszük a végtelen távoli pontokat, illetve komplex koordinátákkal számolunk.

A tétel kiterjeszthető többdimenziós esetekre is. Eszerint n homogén polinom n+1 változóval az n dimenziós térben egy-egy hipersíkot határoz meg. Ha ezek dimenziója , és minden pont véges az alatta fekvő tér algebrai lezártjában, akkor a metszéspontok száma multiplicitással számolva. Két változó, affin síkok esetén, vagy ha nem számoljuk a nemvalós pontok multiplicitását, a tétel csak egy felső határt ad a metszéspontok számára, ezt szokás Bézout-féle határnak nevezni.

A tétel legfontosabb alkalmazása a numerikus matematikában van, ahol e tétel segítségével állapítjuk meg egyenletek megoldhatóságát. A tétel szerint a számítási komplexitás a változók számával exponenciálisan nő, így a remélhető legjobb eset a Bézout-határ polinomiális függvénye.

A tétel pontos megfogalmazása

Projektív síkon

Legyen X és Y két projektív görbe az F tér felett, amik relatív prím polinomok.Azaz a legnagyobb közös osztójuk konstans Az általuk leírt két görbének az összes metszéspontja az F-et tartalmazó, algebrailag zárt E testbeli koordináták szerint a két polinom fokszámának szorzata.

Általános eset

Legyen adott egy algebrailag zárt tér feletti n dimenziós projektív térben n darab projektív hiperfelület. Ha az ezeket meghatározó n+1 változós homogén polinomok fokszáma d1, d2,... dn, akkor a metszéspontok száma, multiplicitással számolva:

Ha a hiperfelületek irreducibilisek, és általános helyzetűek, akkor a metszéspontok mindegyike egyszeres, így a számuk pontosan a fenti szorzat.

A tétel tovább általánosítható, ez a multihomogén Bézout-tétel.

Bizonyítás

A tételnek számos bizonyítása van. Az egyik lehetőség egy általános forma ismételt alkalmazásával való igazolás, de felhasználhatjuk a Hilbert-tereket is.

Általánosítással (vázlat)

Legyen V egy δ dimenziós projektív algebrai halmaz, aminek a fokszáma d1, és ebben egy d2 fokú polinommal definiált H hiperfelület, aminek nincs V-ben irreducibilis komponense, akkor a két halmaz metszetének dimenziója δ-1, és a metszéspontok száma d1d2.

Ha ezt az eljárást az összes hiperfelületre egymás után elvégezzük, kapjuk a tétel állítását.

Homogén koordinátákkal Legyenek X és Y a két síkgörbe. Ezek koordinátás alakjai:

, ahol ai és bi i-ed fokú homogén polinomjai x-nek és y-nak. A metszéspontok az így kapott egyenletrendszer megoldásai. Alkossuk meg a Sylvester-mátrixot, ami például m=4 és n=3 esetben a következő:

Ennek a mátrixnak a determinánsa egy mn-ed fokú homogén polinom x-ben és y-ban,Ne feledjük, hogy a mátrix elemei polinomok! ami egyben a mátrix rezultánsa is, azaz az egyenletrendszer megoldásainak száma megegyezik a rezultáns megoldásainak számával. Az algebra alaptétele szerint egy mn-ed fokú polinomnak a komplex számtest felett mn gyöke van, a multiplicitást is beleszámolva, ebből pedig következik a tétel állítása.

Története

A tétel először Isaac Newtonnál bukkan fel, ő a Principia Philosophiae Naturalis első kötete 28. lemmájának bizonyításakor jelenti ki. Ebben a megfogalmazásban a tétel szerint két görbe metszéspontjainak száma a görbéket leíró polinomok fokszámának szorzata. A tételt később Étienne Bézout közölte az 1779-ben kiadott Théorie générale des équations algébriques írásában. Mivel neki még nem állt rendelkezésére a modern algebrai jelrendszer, kénytelen volt ormótlan algebrai kifejezésekkel bajlódni a bizonyításban. A modern szemlélet szerint Bézout bizonyítása felettébb ötletszerű volt, mivel többek között nem formalizálta a pontos feltételeket. Éppen ezért sokan nem is tekintik helyes bizonyításnak, mi több, még csak legelsőnek sem.

Példák

Egy parabolának és egy egyenesnek legfeljebb két metszéspontja lehet. A parabola egyenlete legyen , az egyenesé pedig . Ezek most homogén koordináták is, így rögtön fel is írhatjuk a megoldást. Az algebra alaptétele alapján pedig két megoldásunk van, mivel a parabola fokszáma 2, az egyenesé pedig 1. A két pont koordinátái valósak, az esetben egybeesnek, a multiplicitásuk 2.

Két különböző, nem párhuzamos egyenes pontosan egy pontban metszi egymást. Ha párhuzamosak, akkor is van ugyan metszéspont, de az az egzotikus végtelen távoli pont.Példának okáért vegyünk két egyenest!

Ezeknek a homogén koordinátás alakja

amit megoldva kapjuk, hogy x=-2y és z=0, azaz a metszéspont koordinátája (-2;1;0). Mivel a z koordináta 0, a pont a végtelenben van.

Két kör esetén a tétel négy metszéspontot jósol, holott a köröknek a síkon csak két metszéspontja lehet. Az ellentmondás abban áll, hogy a másik két metszéspont koordinátái imagináriusok a homogén egyenlet megoldásai alapján. A végtelen távoli egyenes két pontján ugyanis minden kör átmegy. Ez a két pont az és az

Két kúpszeletnek összesen négy metszéspontja lehet. Itt figyelembe kell venni, hogy minden kúpszelet két pontban találkozik a végtelen távoli egyenessel, úgyhogy ezek is lehetnek metszéspontok, valamint hogy a metszéspontok többszörös gyökök is lehetnek.

Jegyzetek

Források

Alternative translation of earlier (2nd) edition of Newton's Principia. A tétel általánosítása

Fordítás

Kategória:Algebrai geometria