A kategóriaelmélet az univerzális algebrához hasonlóan felfogható matematikai struktúrák általános elméleteként, ahol a struktúrák között szerepelnek csoportok, gyűrűk, modulusok és topologikus terek. Alapfogalmai a kategóriák, funktorok, és az előbbiek által definiált természetes transzformációk. A tulajdonságokat nem az elemek közötti relációkként, hanem morfizmusokkal és funktorokkal hasonlítják össze a kategóriákat és azok típusait.
Az 1940-es években a topológia egyik ágaként alakult ki. Saunders Mac Lane a Samuel Eilenberggel közös 1945-ben megjelent cikkét nevezte az első kategóriaelméleti műnek.
Bővebben Ez a fajta absztrakció nemcsak az alapvető, elméletet átfogó fogalmak magyarázatával foglalkozik, hanem segít az egyik matematikai elméletből a másikba módszereket és fogalmakat átvinni. Ennek egy példája az, hogy a homologikus algebra módszereit az Abel-csoportokra fejlesztették ki, majd általánosították gyűrűk fölötti modulusokra is, végül a kommutatív kategóriák elméleteként teljesítették ki.
A kategóriaelmélet az alapvető kérdésekkel is foglalkozik. A matematika klasszikus halmazelméleten alapuló felépítésével szemben alternatívát kínálnak azok a struktúrák, amelyekben a halmazok fontos tulajdonságait morfizmusokkal definiálják. Ezekből a halmazokból kategóriát alkotnak, majd még egy absztrakcióval kivonatolják őket. Ennélfogva a kategóriaelmélet alkalmazható a logikában, az elméleti informatikában és a matematikai fizikában.
Definíciók
Kategóriák Legyen egy kategória! Ekkor a következőkből áll: Objektumok egy osztálya Morfizmusok egy osztálya, ahol a morfizmus eleme a halmaznak, és az objektumok összes párjára definiálva van. A morfizmusok halmazát jelölik még így is: , , vagy . A kategória különböző morfizmusosztályai diszjunktak, tehát nem lehet olyan morfizmus, amelyik egyszerre több típusnak is tagja. Az morfizmus forrása , amit is jelöl; célja , aminek jele . Műveleti leképezések:
amelyek általános értelemben asszociatívak: ahol és . Néha elhagyják a -t, és például helyett -t írnak Egy identitásmorfizmus, , ami minden objektumhoz önmagát rendeli. Ez az forrású és célú morfizmusok neutrális eleme a kompozícióra. Azaz , hogyha , és , ha . Az jelölés helyett is használatos. Részkategória A kategória részkategóriája a kategóriának, ha részosztálya -nek, és minden -beli és objektumpár morfizmushalmaza része a -nak. Ha mindegyik ilyen párra , akkor a részkategória teljes. Egy teljes részkategória egyértelműen megadható tartóhalmazával. Duális kategória A kategória duális kategóriája a kategória, ha és . Az identitásmorfizmus és a leképező műveletek megegyeznek a -beliekkel. Szemléletesen, -ban a morfizmusok a másik irányba mennek. A kategória megegyezik -vel. Szorzatkategória A és kategóriák szorzata az a kategória, amelynek objektumai éppen az párok, ahol és , morfizmusai: . A morfizmusok kompozíciója komponensenként végezhető, így , és .
Funktorok Egy kovariáns funktor egy kategóriák közötti homomorfia. Egy kategóriát a kategóriába vivő funktor adatai a következők:
az hozzárendelés az leképezések minden -beli , elempárra jól illeszkedik a kompozíciókhoz, azaz tartalmazzák az identitásmorfizmust:
Egy kontravariáns funktor, vagy kofunktor -ből -be egy funktor. Leírása, mint a kovariáns funktoré, a következők kivételével: a morfizmushalmazok leképezései -ből -be mennek a jól illeszkedés ezt jelenti:
Egy kategóriát önmagába vivő funktor az adott kategória endofunktora.
Ha kategóriák, és úgy, hogy ko- vagy kontravariáns funktorok, akkor a kompozíció is funktor, ami definiálható így:
objektumokra és morfizmusokra. A funktor pontosan akkor kovariáns, ha és is ko- vagy kontravariáns, különben kontravariáns.
Természetes leképezések A természetes leképezések a párhuzamos funktorok leképezései. A leképezés két funktorból, itt -ből és -ből indul ki, amelyek ugyanabból a kategóriából ugyanabba a kategóriába mennek. egy természetes transzformációja -be tartalmaz minden objektumra komponensként tartalmaz egy morfizmust. Ezzel az morfizmussal objektumai között ennek a diagramnak kommutatívnak kell lennie:
Képlettel: .
Az és -ből -be menő funktorok természetesen ekvivalensek, ha vannak természetes és transzformációk, amelyekre és identitás. Másként: a természetes ekvivalencia izomorfia a funktorok kategóriájában. Egy természetes leképezés pontosan akkor természetes ekvivalencia, ha minden komponense izomorfia.
Az funktor kategóriaekvivalencia, ha van egy funktor, hogy és rendre természetesen ekvivalens , illetve identitásával. Megmutatható, hogy a kategóriaekvivalenciák teljesen hűek, és lényegében szürjektívek.
Példák Kategóriák A szakirodalomban nincsenek egységes jelölések a különféle kategóriák számára. A kategória leírását gyakran zárójelbe teszik. A Set kategória a halmazok kategóriája. A kategória az összes halmaz osztálya, ellátva az összes -ből -ba menő leképezéssel, mint morfizmussal, azaz A morfizmusok közötti művelet a kompozíció. A PoSet vagy Pos kategória objektumai a részben rendezett halmazok, morfizmusai a monoton leképezések. A Top kategória objektumai a topologikus terek, morfizmusai a folytonos leképezések. Ennek teljes kategóriája a KHaus kompakt Hausdorff-terek kategóriája. A Grp avagy Gr a csoportok kategóriája, és morfizmusai a csoporthomomorfizmusok. Ennek teljes alkategóriája az Abel-csoportok AbGrp vagy Ab kategóriája. Az NLinSp kategória a normált lineáris terek kategóriája a folytonos (korlátos) lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal. Részkategóriát alkotnak például a Banach-terek a folytonos lineáris leképezésekkel (BanSp1 kategória), vagy folytonos normaredukált leképezésekkel (BanSp2 kategória), vagy az egységelemes kommutatív komplex Banach-algebrák a normaredukált algebrahomomorfizmusokkal. A Cat vagy Kat a kis kategóriák kategóriája. Egy kategória akkor kicsi, ha morfizmusainak osztálya halmaz. Az objektumok a kis kategóriák, a morfizmusok a funktorok. A kis kategóriákra vonatkozó korlátozásnak halmazelméleti okai vannak. Egy halmaz az részben rendezéssel meghatároz egy kategóriát: az objektumok a halmaz elemei, az elempárok morfizmusai akkor tartalmaznak egy elemet, ha , különben üresek. Ha az halmaz üres, akkor egy objektumok ér morfizmusok nélküli kategóriát határoz meg. Ez a kezdeti, vagy üres kategória. Ha egy elemű, akkor az végső kategória keletkezik, ami egy objektumból és ennek identitásmorfizmusából áll. Ha és kategóriák, akkor a funktorkategória objektumai a -ből -be menő funktorok, morfizmusai a természetes transzformációk. Ha kategória, és eleme -nek, akkor az fölötti kategória így definiálható: objektumai célú morfizmusai, és morfizmusai -nek azok a morfizmusai, amelyek struktúrahomomorfizmussal -be vihetők. Azaz és objektumai, így az -ből -be menő morfizmusok -ban azok a morfizmusok, amelyekre teljesül. Megfordítva, legyen * rögzített egy pontos topologikus tér; ekkor a * alatti topologikus terek kategóriája izomorf a Top* pontozott topologikus terek kategóriájával.
A legtöbb fenti kategória olyan, vagy reprezentálható úgy, hogy objektumai műveletekkel ellátott halmazok legyenek, morfizmusai az ezek szerkezetére illeszkedő homomorfizmusok, és a morfizmusok közötti művelet a kompozíció. Az ilyen kategóriák konkrétok. A konkretizálható kategóriák azok, amelyek ekvivalensek egy konkrét kategóriával. De vannak más, nem konkretizálható kategóriák is:
A HoTop avagy hTop objektumai topologikus terek, morfizmusai a folytonos leképezések homotópiaosztályai. A kis kategóriák kategóriája a funktorok természetes ekvivalenciaosztályaival, mint morfizmusokkal. Funktorok A funktorokat többnyire az objektumok hozzárendelésével adják meg, ha a morfizmushalmazok leképezései azokból könnyen levezethetők. A C kategória egy T objektumára az X MorC(T,X) hozzárendelés (kovariáns) C → Set. funktor. Az X MorC(X,T) funktor kontravariáns. Lásd még: Hom-funktor. Legyen test, és a fölötti vektorterek kategóriája a -lineáris leképezésekkel, mint morphizmusokkal. Legyen egy kontravariáns funktor így definiálva: ahol: egy objektum duális tere egy lineáris leképezésre
Könnyen belátható, hogy és . Gm: (gyűrűk) → (csoportok): az egységelemes gyűrűkhöz az egységelemüket rendeli. Általában: GLn: (gyűrűk) → (csoportok): a gyűrűkhöz az általános lineáris csoportot rendeli, vagyis az invertálható n×n-es mátrixok csoportját. A fundamentális csoport egy Top → Grp funktor; a magasabb homotópiák és a homológiacsoportok Top → Ab funktorok; a kohomológiacsoportok Top → Ab kontravariáns funktorok. A részben rendezett halmazok által meghatározott kategóriák funktorai éppen a monoton függvények. Felejtő funktorok: Nyilván léteznek Ab → Set, Ab → Grp, Top → Set és más hasonló funktorok, amelyek egyszerűen elfelejtik egy struktúra egy részét, például az Abel-csoportokhoz a csoportot, de a kommutativitás, mint információ nélkül, vagy a tartóhalmazt rendelik műveletek nélkül; hasonlóan, egy topologikus térhez a tartóhalmazát rendelik, és így tovább. Szabad konstrukciók, például a szabad Abel-csoportok: Minden halmazhoz hozzárendelhetjük az Abel-csoportot pontonkénti összeadással. A leképezések nyilvánvaló hozzárendeléseivel adódik egy Set-ből Ab-be menő funktor. Ekkor fennáll egy kanonikus izomorfia, ahol V felejtő funktor. Azt mondjuk, hogy F a V-hez (bal)adjungált funktor. Sok felejtő funktorhoz léteznek hasonló konstrukciók.
Természetes transzformációk A továbbiakban a duális tér funktorainak szakaszában használt jelöléseket használjuk újra. Egy V vektortér
leképezései a biduális terébe természetes transzformációk:
A véges dimenziós vektorterek teljes részkategóriáján természetes ekvivalencia. det: GLn → Gm: Egy R gyűrűre a detR GLn(R) → R× csoporthomomorfia. A Hurewicz-leképezés:
Kohomlógiában a cupszorzat. Egy csoport Abelizációja:
Yoneda-lemma és általános konstrukciók Az univerzális konstrukciók egyszerű fogalmakat visznek át a halmazok kategóriájából más kategóriákba.
Legyen C kategória. Az
funktor, ami egy X objektumhoz az
funktort rendeli, teljesen hű. Általában, a C X objektumaira és Mor(Cop,Set) F funktoraira: .
A fenti Yoneda-lemma lehetővé teszi a szerkezeti transzfert, vagyis a halmazok kategóriájának tulajdonságainak általánosítását. Például a Descartes-szorzat: az Xi objektumok Descartes-szorzata P, hogyha h(P) objektumonként megegyezik a h(Xi)-k szorzatával, vagyis:
ahol a T-beli funktorok természetes ekvivalenciája. Ennek a természetes ekvivalenciának T = P esetén idP-nek kell lennie, és hasonlóan a pri morfizmusokra: P → Xi. Ekkor a Yoneda-lemma szerint P kanonikus izomorfia erejéig egyértelmű: ha Mor(_,P) és Mor(_,Q) t szerint természetesen ekvivalens funktorok, akkor P és Q izomorfiáját tP(idP) biztosítja.
Ez a kategóriaszorzat univerzális a következő értelemben: adott fi: T → Xi leképezések megjelennek az pri: P → Xi univerzális leképezésben, tehát létezik egy c: T → P leképezés, hogy T → P, így fi = pri c.
Sőt, az így kapott konstrukcióknak képezhető a duálisa is, amit többnyire ko előtag jelöl. Ezek a duális kategóriákra alkalmazott ugyanilyen konstrukciók. Így például C kategória Xi objektumainak koszorzata ugyanaz, mint C duálisában az Xi elemek duálisainak szorzata.
Hasonlóan vihetők át tulajdonságok is: ha például az X → Y morfizmus monomorfizmus, ha h(X) → h(Y) objektumonként injektív.
Speciális általános konstrukciók:
Szorzat és koszorzat Kezdeti objektumok és végobjektumok differenciamag és differenciakomag
általános limeszek és kolimeszek injektív és projektív objektumok adjungált funktorok
Források Bevezetés: F. W. Lawvere, Stephen Schanuel: Conceptual Mathematics. A first introduction to categories, Cambridge, 1997. (hardback ). Steve Awodey: Category Theory, Claredon Press, Oxford, 2006. . Michael Arbib, Ernest G. Manes: Arrows, Structures and Functors. The Categorical Imperative, Academic Press, 1975.