thumb|hochkant=1.5|Az e Euler-egyenes (feketével), a H magasságpont (pirossal), az S súlypont (zölddel), a körülírt kör középpentja, U (kékkel), és a Feuerbach-kör középpontja, N (feketével)
Az Euler-egyenes egy Leonhard Euler által felfedezett egyenes, ami a háromszög megadott három (illetve négy) pontjára illeszkedik. Az egyenes jelentősége egyes szerkesztések esetén lényeges.
Tétel 250px|thumb|Az Euler-egyenes a P, G és O pontokon halad keresztül. Itt P a magasságpont, G a súlypont és O a köré írt kör középpontja.
Egy ABC háromszögben a magasságpont, a súlypont és a köréírt kör középpontja egy egyenesre esik. Ezt nevezzük a háromszög Euler-egyenesének.
Speciálisan ha a háromszög egyenlő szárú, akkor az Euler-egyenes a háromszög szimmetriatengelye is egyúttal.
Szabályos háromszögek esetén a három pont egybeesik, ekkor bármely, ezt a pontot tartalmazó egyenes lehet Euler-egyenes.
Ha a háromszög derékszögű, akkor Euler-egyenese az átfogóhoz tartozó súlyvonal egyenese: ilyenkor ui. az átfogó felezőpontja (a Thalész-tétel megfordítása értelmében) a körülírt kör középpontja, továbbá a derékszögű csúcs a magasságpont.
Bizonyítható az is, hogy a Feuerbach-kör középpontja is ezen az egyenesen van, és felezi a magasságpont és a köréírható kör középpontja közötti szakaszt.
Bizonyítás Háromszögek hasonlóságával
Legyen az ABC háromszög magasságpontja M, súlypontja S és a köré írható kör középpontja O. Az oldalfelező pontok rendre FA, FB és FC. Az FAFBFC háromszög hasonló az ABC-hez, és λ=2 a hasonlóság aránya. Az FCO szakasz merőleges az FAFB szakaszra, így megfelel a CM szakasznak.
Mivel S rajta van a CFC szakaszon, ezért az OFCS∠ és SCM∠ szögek, mivel párhuzamos szárú szögek, egyenlőek. Továbbá CS=2·SFC, ezért SOFC△~SMC△. Ezen okból OSFC∠=MSC∠, amik csúcsa közös, egyik száruk egy egyenesen van, ezért a másik száruk is. QED
Transzformációval Ha az ABC háromszöget az S súlypontra λ=-1/2 arányú hasonlósággal leképezzük, az FAFBFC háromszöget kapjuk. Az ABC háromszög súlyvonalai az FAFBFC háromszög súlyvonalai lesznek. Mivel ez utóbbi a súlyponti háromszög, a magasságvonalai az eredeti háromszög oldalfelezői. Így a magasságpont hasonló képe a köréírható kör O középpontja lesz. Mivel pont és képe által meghatározott egyenes tartalmazza a hasonlóság centrumát, a tételt bebizonyítottuk. QED További tulajdonságok Egy ABC háromszög Euler-egyenese tartalmazza az érintőháromszög körülírt körének középpontja. Az érintőháromszög úgy áll elő, hogy a körülírt körhöz érintőket húzunk a háromszög csúcsaiban. Emiatt az Euler-egyenesen található a háromszög további néhány nevezetes pontja, mint például az Longchamps-pont, az Schiffler-pont és az Exeter-pont.
A háromszög beírt körének középpontja pontosan akkor fekszik az Euler-egyenesen, ha a háromszög egyenlő szárú. Ábrázolása Baricentrikus koordinátákban az Euler-egyenes egyenlete
vagy
ahol a háromszög oldalainak hossza, és a háromszög szögeinek nagysága. Általánosítása thumb|hochkant=1.2|Egy tetraéder (zölddel) Euler-egyenese (feketével) Egy tetszőleges tetraéder esetén az Euler egyenes az az egyenes, amely áthalad az geometriai súlypontján, és a körülírt gömb középpontján.
Megjegyzések
Források
Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, , S. 162–166
Fordítás
További információk Euler-egyenes a MathWorldön Altitudes and the Euler Line at cut-the-knot Euler Line and 9-Point Circle at cut-the-knot
Kategória:Háromszögek Kategória:Geometriai tételek