A matematika csoportelmélet nevű ágában fontos szerepet játszanak a véges csoportok: azok a csoportok, amelyeknek véges sok eleme van. Az alábbi lista a 16-nál kisebb elemszámú csoportokat sorolja föl, elemszám szerint csoportosítva.

Jelölések A csoportelméletben szokásos konvenciókat követve 1 jelöli a csoport egységelemét Tetszőleges pozitív egész n-re jelöli az n-edrendű ciklikus csoportot, azaz az n-edik komplex egységgyökök szorzáscsoportját. Tetszőleges egész számra jelöli az n-edfokú diédercsoportot, azaz a szabályos n-szög szimmetriacsoportját. Tetszőleges pozitív egész n-re jelöli az n-edfokú szimmetrikus csoportot, azaz n elem összes permutációjának csoportját, és jelöli az n-edfokú alternáló csoportot, azaz n elem páros permutációinak csoportját. jelöli a Klein-csoportot; jelöli a kvaterniócsoportot.

Alapvető tények A kis véges csoportok enumerációja során újra meg újra felhasználható az alábbi néhány egyszerű gondolatmenet:

Minden pozitív egész n-re van n elemű csoport Tetszőleges n-re az n-edrendű ciklikus csoport, példa n elemű csoportra.

Ha p prímszám, akkor csak egy p elemű csoport van Ha ugyanis p elemű csoport és és , akkor g rendje nem 1 de osztja p-t, ezért g rendje p. Így , azaz .

Kis elemszámú véges csoportok Egyelemű csoport Egyelemű csoport csak egy van, a triviális csoport.

Kételemű csoport Mivel a 2 prímszám, az egyetlen kételemű csoport a .

Háromelemű csoport Mivel a 3 prímszám, az egyetlen háromelemű csoport a .

Négyelemű csoport Négyelemű csoportból kettő létezik: és a V Klein-csoport. Ezek nyilván különböznek, hiszen az elsőben van negyedrendű elem, a másodikban pedig nincs. Több négyelemű csoport nincs, hiszen ha négyelemű, akkor vagy van negyedrendű eleme, vagy nincs. Ha van, akkor az az elem generálja a csoportot, tehát a . Ha nincs, akkor mindhárom 1-től különböző eleme másodrendű, és így ezek közül bármelyik kettő szorzata a harmadik. Emiatt izomorf a Klein-csoporttal.

Ötelemű csoport Mivel az 5 prímszám, az egyetlen ötelemű csoport a .

Hatelemű csoport A hatelemű csoportok közt kézenfekvő módon szerepel a ciklikus csoport és az szimmetrikus csoport. Ezek különbözőek, hiszen az első kommutatív, a második pedig nem. Több hatelemű csoport nincsen.

Hételemű csoport Mivel a 7 prímszám, az egyetlen hételemű csoport a .

Nyolcelemű csoport A nyolcelemű csoportok között kézenfekvő módon szerepelnek a csoportok. Ezek egymástól különböznek: míg kommutatív, a másik kettő nem az; azt pedig, hogy a diédercsoport különbözik a kvaterniócsoporttól, onnan láthatjuk például, hogy a kvaterniócsoportban csak egy másodrendű elem van (a -1), míg a diédercsoportban van több is (minden tükrözés).

Kilencelemű csoport Két 9 elemű csoport van, ezek a és a .

Tízelemű csoport

Tizenegy elemű csoport Mivel a 11 prímszám, az egyetlen tizenegy elemű csoport a .

Tizenkét elemű csoport

Tizenhárom elemű csoport Mivel a 13 prímszám, az egyetlen tizenhárom elemű csoport a .

Tizennégy elemű csoport

Tizenöt elemű csoport

Források

Kategória:Csoportelmélet