A matematikában a prím zéta-függvény a Riemann-féle zéta-függvény analogonja. Az alábbi sorral definiálható, ami konvergens minden -re:

. Tulajdonságok A Riemann-féle zéta-függvény Euler-szorzata implikálja, hogy:

ami Möbius-inverzióval:

Ha s tart az egyhez, akkor . Ezt a Dirichlet-sűrűség definíciója használja. Továbbá kiterjeszti P(s)-t a félsíkra, végtelen sok logaritmikus szingularitással azokban a pontokban, ahol ns pólusa vagy zérushelye ζ(s)-nek. A az értelmezési tartomány természetes határvonala, mivel majdnem minden pontjában szingularitása van a függvénynek.

Ha definiáljuk a

sorozatot, akkor

ami Li 2.7-edik lemmájával ekvivalens.

A prím zéta-függvény az Artin-konstanshoz is kapcsolódik:

ahol Ln az n-edik Lucas-szám.

Speciális értékei:

sP(s) közelítő értékeOEIS 1 2 3 4 5 9

Analízis

Integrál A prím zéta-függvény integrálját végtelentől számítják, mivel pólusa -ben nem teszi lehetővé egy kellemes alsó korlát kitűzését már egyes egész értékekre a ág választása és felvágás nélkül:

A fontosabb értékek megint azok, amelyekre az összeg lassan konvergál:

s közelítő értékeOEIS 1 2 3 4

Derivált

Az első derivált

A fontos értékek azok, amikre az integrál lassan konvergál:

s közelítő értékeOEIS 2 3 4 5 Általánosításai

A Riemann-féle zéta-függvény az egész számok negatív kitevős hatványainak összege, és a prím zéta-függvény a prímek negatív kitevős hatványainak összege. A kettő közötti átmenetet azok a k-prím zéta-függvények adják, amelyekben azoknak az egészeknek a negatív kitevős hatványai adódnak össze, amiknek k, nem feltétlenül különböző prímosztója van:

ahol a prímtényezők totális összege.

ks közelítő értékeOEIS 2 2 2 3 3 2 3 3

A Riemann-féle zéta-függvényben a nevezők osztályozhatók a k index szerint, amivel az előáll, mint a függvények összege:

Ha a függvény előállításához csak azokat a prímeket használják, amelyek egy rögzített prímre egy adott maradékosztályba esnek, akkor további végtelen sorozatok keletkeznek, amelyek a Dirichlet-féle L-függvény redukciói. Jegyzetek

Források

Fordítás

Kategória:Analitikus számelmélet