A Cobb–Douglas-függvények a közgazdaságtan különböző területein, így a mikroökonómiai fogyasztás- és termeléselméletben, valamint a makroökonómiában is széles körben használatos függvények. Elsőként Knut Wicksell svéd közgazdász alkalmazta őket, elnevezésük mégis az amerikai Charles Cobb matematikus és Paul DouglasA termelési függvénnyel statisztikai hivatalból is foglalkozhatott."In 1952 he was elected as a Fellow of the American Statistical Association."fordítás:1952-ben az Amerikai Statisztikai Egyesület tagjává választották." közgazdász nevéből származik. Cobb és Douglas a határtermelékenységi elméletben az egyes tényezők hozzájárulását a használati érték termeléshez társadalmi méretekben igyekeztek megragadni. Az Euler-tételből kiindulva a termékmennyiség és a tényezők mennyisége közötti függvényszerű összefüggést mutatták ki. Kísérletet tettek a munka és a tőke határtermelékenységének számszerűsítésére. A Cobb–Douglas-függvények a CES-függvények olyan speciális eseteinek tekinthetők, amelyekre .

Általános alakjuk

Egy n-változós Cobb–Douglas-függvény általános alakja:

ahol c és minden ai pozitív konstans.

Olykor célszerűbb a függvény valamilyen alapú logaritmusával dolgozni:

Tulajdonságaik

A Cobb–Douglas-függvények folytonosak és minden változójuk szerint parciálisan differenciálhatók; monoton növekvők (minden xi > 0 esetén szigorúan); konkávak, ha ( esetén szigorúan); egységnyi helyettesítési rugalmasságúak; -edfokon homogének.

Ezek a tulajdonságok megkönnyítik a fogyasztási és termelési optimumok megkeresését és kezelését. Emiatt a Cobb–Douglas-függvényeket jól viselkedő – hasznossági, illetve termelési – függvényeknek szokás nevezni.

A Cobb–Douglas termelési függvény Cobb és Douglas konkrét függőséget akart kimutatni a tőke és a munka mennyisége, valamint a termelés volumene között. Termelési függvényük kiinduló képlete, Q=f(K,L) csak általánosságban fejezte ki, hogy a termelés függ a tőke és a munka mennyiségétől. (Q= quantity = mennyiség, K= kapital = tőke, L= labour =munka) Az összefüggések megtalálása céljából Douglas az amerikai gyáripar 1899-1922 közötti statisztikai megfigyeléseit vizsgálta. Feltételezte, hogy a termelés mennyisége csupán a tőke és a munka mennyiségének változása miatt következett be. Tehát mind a technikai haladástól, mind pedig a munka minőségében bekövetkezett változásoktól eltekintett. Eljárása kényszerű volt, mivel e minőségi változásokat nem tudta számszerűsíteni. A termelés ciklikus változásától úgyszintén eltekintett, mivel mind a munka, mind a tőke azonos intenzitású kihasználását feltételezte. A munkát a foglalkoztatott munkások számaként, a tőkét kizárólag állótőkeként ragadta meg. Az adatokból levont következtetések eredményeként Cobb és Douglas a

Q=bL^(k ) K^m

összefüggést találta a legjobb képletnek, ahol a termelési rugalmasságok a kitevőkben szerepelnek, b pedig azokat a termelési hatásokat fejezi ki, amelyek nem tudhatók be külön egyik tényezőnek sem. b és a termelési rugalmasságok meghatározására elképzelésük a következő volt: ha a munkáslétszám és a tőkeállomány időben különböző ütemben nőnek, azaz a tőke-munka arány időben változik, és ismerjük miként változik vele együtt a termelés, akkor korreláció-számítással meghatározható, miként függ a termelés külön-külön a tőkétől és a munkától. A függvény a fenti feltételezések mellett további sajátosságokkal is bír. Egyik alapvető jellemzője, hogy a helyettesítés rugalmassága= 1. ( A helyettesítés rugalmassága a tényezőarányok százalékos változásának és a helyettesítés százalékos változásának a hányadosa. A helyettesítés határrátájában a határtermelékenységek hányadosa fejeződik ki.) A függvény további alapvető tulajdonsága, hogy korlátlan helyettesítést fejez ki a tényezők között. Azonkívül sajátos módon fejeződik ki benne a tényezők határtermelékenységének rugalmassága. ( A tényezők határtermelékenységének rugalmassága a tőke-munka arány százalékos változása és a tényezők határtermelékenységének százalékos változása közötti viszonyt fejezi ki.) Tekintve, hogy a Cobb-Douglas termelési függvény a termelésben mutatkozó változásokat pusztán a tőke és a munka mennyiségi változásaira kívánta visszavezetni és nem vette számításba a technikai fejlődés hatásait, ezért a függvényt a későbbiekben többen finomították. Először Tinbergen kísérelte meg 1942-ben, majd Solow 1957-ben a technikai haladás elkülönítését. Így a függvény modernizált változatai már számolnak azzal, hogy a technikai haladásnak jórészt új tőkejavakban kell megtestesülnie. Az „emberi tőkébe” eszközölt beruházás révén kezdik figyelembe venni a szakképzettségnek a munka termelékenységére gyakorolt hatását.

A Cobb-Douglas függvényt bírálói szerint nem lehet az erőforrások optimális elhelyezése számára mérceként felállítani, mivel a függvény révén kiszámított határtermelékenységek az erőforrások tényleges felhasználásával nyert határtermelékenységek, hisz a függvényben leírt összefüggés statisztikai tényadatok elemzéséből született.

Magyarországon részletesen először és világviszonylatban harmadikként Kádas Kálmán publikált empirikus eredményeket a Cobb-Douglas termelési függvények témakörében. Ld.: Az emberi munka termelékenységének statisztikai vizsgálata a magyar gyáriparban. Magyar Statisztikai Szemle, 1944. július-augusztus

Hoós János (közgazdász) foglalkozott még Mátyás Antal közgazdász professzoron kívül a Cobb–Douglas-függvényekkel egy közgazdasági alapművében. (A gazdasági növekedés alapvető tényezői, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, 1970.) Sipos Béla 1982-ben publikálta „Termelési függvények-vállalati prognózisok” c. könyvét, amit a Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó adott ki. E könyvében foglalkozott a "Kádas-féle termelésifüggvény-számítás kiegészítésével." (Id. mű.: 111-120. old.)" Források

Dr. Kádas Kálmán. Az emberi munka termelékenységének statisztikai vizsgálata a magyar gyáriparban. Magyar Statisztikai Szemle, 1944Kádas Kálmán. Az emberi munka termelékenységének statisztikai vizsgálata a magyar gyáriparban. Dr. Mátyás Antal: A modern polgári közgazdaságtan története. KJK, 1973 Dr. Mátyás Antal: A polgári közgazdaságtan története az 1870-es évektől napjainkig. KJK, 1979. Rédey Katalin-Sipos Béla. Termelési függvények a magyar ipar néhány ágazatában. (A Kádas-féle termelési függvényszámítás kiegészítése) Statisztikai Szemle. 1980. 7. sz.Rédey-Sipos: A Kádas-féle termelési függvényszámítás kiegészítése

Sipos Béla: Termelési függvények felhasználása elemzésre és előrejelzésre. Toll és Igazság. Kutatás-Kultúra. 2024. 06.19.

Jegyzetek

Kategória:Makroökonómia Kategória:Mikroökonómia