A matematika, azon belül a számelmélet területén egy k-hipertökéletes szám (hyperperfect number) olyan n természetes szám, amire fennáll az n = 1 + k(σ(n) − n − 1) egyenlőség – σ(n) az osztóösszeg-függvényt (azaz n összes pozitív osztóját) jelöli. Általánosságban egy szám akkor hipertökéletes, ha valamely pozitív egész k-ra k-hipertökéletes. A hipertökéletes számok a tökéletes számok általánosításai, melyek ebben a felírásban 1-hipertökéletesek.
A k-hipertökéletes számok sorozatának első néhány eleme: 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, 1333, 1909, 2041... , a hozzájuk tartozó k értékek pedig: 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, 18, 18, 12... . Az első néhány k-hipertökéletes, de nem tökéletes szám pedig: 21, 301, 325, 697, 1333, ... .
Hipertökéletes számok listája A következő táblázat listázza az első néhány k-hipertökéletes számot néhány k értékre, az OEIS-sorozatszámukkal együtt:
k OEIS Néhány ismert k-hipertökéletes szám 1 6, 28, 496, 8128, 33550336, ... 2 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, ... 3 325, ... 4 1950625, 1220640625, ... 6 301, 16513, 60110701, 1977225901, ... 10 159841, ... 11 10693, ... 12 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, ... 18 1333, 1909, 2469601, 893748277, ... 19 51301, ... 30 3901, 28600321, ... 31 214273, ... 35 306181, ... 40 115788961, ... 48 26977, 9560844577, ... 59 1433701, ... 60 24601, ... 66 296341, ... 75 2924101, ... 78 486877, ... 91 5199013, ... 100 10509080401, ... 108 275833, ... 126 12161963773, ... 132 96361, 130153, 495529, ... 136 156276648817, ... 138 46727970517, 51886178401, ... 140 1118457481, ... 168 250321, ... 174 7744461466717, ... 180 12211188308281, ... 190 1167773821, ... 192 163201, 137008036993, ... 198 1564317613, ... 206 626946794653, 54114833564509, ... 222 348231627849277, ... 228 391854937, 102744892633, 3710434289467, ... 252 389593, 1218260233, ... 276 72315968283289, ... 282 8898807853477, ... 296 444574821937, ... 342 542413, 26199602893, ... 348 66239465233897, ... 350 140460782701, ... 360 23911458481, ... 366 808861, ... 372 2469439417, ... 396 8432772615433, ... 402 8942902453, 813535908179653, ... 408 1238906223697, ... 414 8062678298557, ... 430 124528653669661, ... 438 6287557453, ... 480 1324790832961, ... 522 723378252872773, 106049331638192773, ... 546 211125067071829, ... 570 1345711391461, 5810517340434661, ... 660 13786783637881, ... 672 142718568339485377, ... 684 154643791177, ... 774 8695993590900027, ... 810 5646270598021, ... 814 31571188513, ... 816 31571188513, ... 820 1119337766869561, ... 968 52335185632753, ... 972 289085338292617, ... 978 60246544949557, ... 1050 64169172901, ... 1410 80293806421, ... 2772 95295817, 124035913, ... 3918 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, ... 9222 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, ... 9828 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, ... 14280 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, ... 23730 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, ... 31752 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, ... 55848 15166641361, 44783952721, 67623550801, ... 67782 18407557741, 18444431149, 34939858669, ... 92568 50611924273, 64781493169, 84213367729, ... 100932 50969246953, 53192980777, 82145123113, ...
Megmutatható, hogy ha k > 1 páratlan egész szám és p = (3k + 1) / 2, q = 3k + 4 prímszámok, akkor p²q egy k-hipertökéletes szám; Judson S. McCranie 2000-es sejtése szerint páratlan k > 1 számokra az összes k-hipertökéletes szám ilyen alakú, de ezt még nem sikerült igazolni. Belátható továbbá, hogy ha p ≠ q páratlan prímek és k olyan egész szám, amire k(p + q) = pq - 1, akkor pq k-hipertökéletes.
Megmutatható továbbá az is, hogy ha k > 0 és p = k + 1 prímszám, akkor minden i > 1-re, amire q = pi − p + 1 prímszám, az n = pi − 1q szám k-hipertökéletes. A következő táblázat listázza az ismert k és a hozzátartozó i értékeket, amire n k-hipertökéletes:
k OEIS i érték 16 11, 21, 127, 149, 469, ... 22 17, 61, 445, ... 28 33, 89, 101, ... 36 67, 95, 341, ... 42 4, 6, 42, 64, 65, ... 46 5, 11, 13, 53, 115, ... 52 21, 173, ... 58 11, 117, ... 72 21, 49, ... 88 9, 41, 51, 109, 483, ... 96 6, 11, 34, ... 100 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, ...
Hiperhiányosság
A hipertökéletes számok kapcsán bevezethető új matematikai fogalom a hiperhiányosság (hyperdeficiency).
Definíció (Minoli 2010): Bármely pozitív egész n-re és egész k-ra, az n szám k-hiperhiányossága (vagy egyszerűen hiperhiányossága):
δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)
Egy n szám akkor k-hiperhiányos, ha δk(n) > 0.
Vegyük észre, hogy k=1-re δ1(n)= 2n–σ(n), ami éppen a hiányosság hagyományos definíciója.
Lemma: Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes (beleértve a k=1 esetet), ha n k-hiperhiányossága, azaz δk(n) = 0.
Lemma: Egy n szám akkor és csak akkor k-hipertökéletes (beleértve a k=1 esetet), ha valamely k-ra δk-j(n) = -δk+j(n) legalább egy j > 0 esetben.
Jegyzetek
Irodalom
Cikkek
. . . . . . . . .
Könyvek
Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, (p. 114-134)
További információk MathWorld: Hyperperfect number A long list of hyperperfect numbers under Data
Kategória:Nevezetes számsorozatok