Az abszolútérték-függvény grafikonja|bélyegkép|260px|jobbra Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.
Egy x szám abszolút értékét így jelölik: . Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az
hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.
Ekvivalens definíciók Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az
függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:
ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.
Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek. Példák
Analitikus tulajdonságok Nemnegativitás
A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra
Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.
Szubadditivitás
Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:
amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.
Folytonosság Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.
A Lipschitz-folytonosság a szubadditivitásból és a fordított háromszög-egyenlőtlenségből következik, ahol a Lipschitz-konstans : .
Derivált és integrál Az abszolútérték-függvény a halmazon megegyezik az függvénnyel, amely minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja . Hasonlóan, a függvény a halmazon megegyezik az függvénnyel, amely szintén minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja . Emiatt a függvény az halmazon differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).
Korlátos intervallumon integrálható. Egy határozatlan integrálja .
Arkhimédészi tulajdonság Az abszolútérték arkhimédészi norma, azaz, hogyha van egy egész szám, melyre , akkor minden egész számra teljesül, hogy .
Algebrai tulajdonságok Multiplikativitás „Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:
Iteráció-invariancia
Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:
vagy az analízis formalizmusában
Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek A megoldáshoz tudni kell, hogy esetén következik, hogy vagy . Hogyha , akkor .
Például szeretnénk megoldani az egyenletet a valós számokon.
A számolás a következő:
Tehát az egyenletnek két megoldása van -re, jelesül 2 és −8.
Egyenlőtlenségek esetén alkalmazhatók:
Például szeretnénk meg oldani az egyenlőtlenséget a valós számokon.
Számolhatunk a következőképpen:
Tehát megoldásként a intervalllum adódik.
Általában az , és valós számokra: .
Általánosítás Komplex számok, kvaterniók, sőt bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a
valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza.
Általában egy algebrában az abszolút érték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot. Komplex abszolútérték Legy , ahol , valós. Ekkor , ahol a szám komplex konjugáltja. Hogyha valós, akkor , így ; ezzel a komplex abszolútérték
ami éppen megegyezik a valós abszolútértékkel.
A komplex abszolútértékre példa:
A komplex abszolútérték nem komplex differenciálható, hiszen csak valós értékeket vesz fel, így nem teljesíti a Cauchy-Riemann-egyenleteket. Norma Egy normának három tulajdonságnak kell megfelelnie: definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás. Mivel a valós és a komplex abszolútértéknek megvannak ezek a tulajdonságai, azért mindkettő norma, mégpedig abszolútérték-norma.
A definitség következik abból, hogy a négyzetgyökfüggvénynek a nulla az egyetlen nullhelye:
A homogenitás adódik abból, hogy ha komplex számok, akkor
A háromszög-egyenlőtlenség:
ahonnan négyzetgyökvonással adódik az eredmény. Itt kihasználtuk, hogy a konjugálás felcserélhető a szorzással és az összeadással. Továbbá azt, hogy a kétszeri konjugálás eredménye a kiindulási komplex szám; illetve, hogy a komplex abszolútérték legalább akkora, mint a valós része. Valós esetben nincs szükség konjugálásra.
Az abszolútérték-normát indukálja a skaláris szorzat a valós és a komplex számok fölött. Jelölje és a két számot. Az abszolútérték-norma által indukált metrika: , ahol a távolság két szám különbségének abszolútértéke.
A definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás alapján az abszolútérték tetszőleges vektortérre általánosítható. Az egyértelműség azonban nincs biztosítva. Egyéb testek fölött Legyen integritástartomány, és egy függvény! Teljesüljenek még a következő tulajdonságok is: (0) Nemnegativitás (1) Definitség (0) és (1) együtt pozitív definitség (2) Multiplikativitás, abszolút homogenitás (3) Szubadditivitás, háromszög-egyenlőtlenség
A függvény kiterjesztése a hányadostestre a multiplikativitás miatt egyértelmű. Ezekkel a tulajdonságokkal a függvény a hányadostest értékelése.
Ha minden természetes számra, akkor a norma vagy az értékelés nemarkhimédészi.
A minden esetben triviális nemarkhimédészi norma vagy értékelés.
Nemarkhimédészi esetben teljesül (3’) az éles háromszög-egyenlőtlenség.
Emiatt a norma ultrametrikus. Megfordítva, minden ultrametrikus norma nemarkhimédészi.
Ha egy integritástartománynak van arkhimédészi normája, akkor karakterisztikája nulla. A nem nulla (azaz prímszám) karakterisztikájú integritástartományoknak csak nemarkhimédészi normája lehet. A véges integritástartományok prímkarakterisztikájú véges testek, ahol csak a triviális norma létezik. A racionális számok teste, mint prímtest karakterisztikája nulla, és véges bővítésein mind arkhimédészi, mint nemarkhimédészi normák vannak. Az Ostrowski-tétel szerint a racionális számokon egyetlen arkhimédészi norma van (ami euklideszi is). A többi norma nemarkhimédészi p-adikus norma, ahol a p betű prímszámra utal. Mindezekre érvényes az approximációs tétel.
Ha test, akkor a rajta normával indukált metrikák teljessé tehetők. Az így teljessé tett testet jelöli. A racionális számok arkhimédészi teljessé tételei és . A nemarkhimédészi teljessé tételek minden prímre.
A triviális norma kiterjesztése is triviális.
Legyenek és egy test normái vagy értékelései! Ekkor a következők: Minden sorozat, ami szerint nullsorozat, azaz , akkor szerint is nullsorozat – és megfordítva. Ha , akkor . a hatványa, vagyis minden esetén egy előre rögzített számmal.
Lásd még szignumfüggvény norma (matematika)
Hivatkozások
Alice és Bob – 17. rész: Alice és Bob ókori haverja Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Valós analízis Kategória:Függvények