A matematikában a Hurwitz-féle zéta-függvény a zéta-függvények egyike. Formális definíciója s, q komplex argumentumokra, ha Re(s) > 1 és Re(q) > 0:

A fent megadott tartományon abszolút konvergens, és kiterjeszthető a komplex síkra úgy, hogy s≠1. A Riemann-féle zéta-függvény ennek egy speciális esete: ζ(s,1).

Analitikus folytatás

Ha , akkor a függvény definiálható, mint:

ahol az integráció útvonala hurok a negatív tengely körül. Ezzel analitikusan folytatható s-ben.

A Hurwitz-féle zéta-függvény ezzel a folytatással meromorf, ami minden komplex számra definiálható, amire . Az helyen elsőrendű pólusa van, és reziduuma 1. A konstans term

ahol a gamma-függvény, és a digamma-függvény.

Sorfejtés

Helmut Hasse konvergens Newton-sor reprezentációt definiált minden valós q > 0 és minden s ≠ 1 esetére 1930-ban:

A sor egyenletesen konvergál az s-sík kompakt halmazain egy egészfüggvényhez. A belső összeg érthető, mint n-edik hátradifferenciálja; azaz,

ahol Δ az előredifferenciál operátor. Tehát

Integrál reprezentáció A függvény integrálreprezentációja Mellin-transzformációval kapható:

ha és

Hurwitz képlete Hurwitz képlete:

ahol

a zéta egy reprezentációja, ami érvényes and s > 1. Itt a polilogaritmus.

Függvényegyenlet A függvényegyenlet kapcsolatot teremt a jobb és a bal félsíkon felvett értékek között. Egész esetén

fennáll minden s értékre. Taylor-sorok A zéta függvényt a második argumentumában vett parciális deriválás eltolja:

Emiatt a Taylor-sornak különböző árnyékformája van:

Alternatívan,

ahol .

Közeli rokon a Stark–Keiper formula:

ami egész N-ekre és tetszőleges s-re teljesül. Lásd még Faulhaber képletét hasonló kapcsolatért egészek hatványainak véges összegével.

Laurent-sor A Laurent-sorkifejtés használható a Stieltjes-konstansok definiálásához:

Speciálisan és . Fourier-transzformált A Hurwitz-féle zéta-függvény s szerinti diszkrét Fourier-transzformáltja a Legendre-féle khi-függvény. Kapcsolat a Bernoulli-polinomokkal A fent definiált függvény a Bernoulli-polinomok általánosítása:

ahol a z komplex szám valós része. Alternatívan

Speciálisan esetén:

Kapcsolat a Jacobi-féle théta-függvénnyel Ha a Jacobi-féle théta-függvény, akkor

teljesül minden és komplex, de nem egész z esetén. Ha z=n egész, az összefüggés egyszerűsíthető:

ahol ζ a Riemann-féle zéta-függvény. Jegyezzük meg, hogy ez utóbbi forma függvényegyenlet a Riemann-féle zéta-függvényre, és ez Riemanntól származik. A különbség annak tulajdonítható, hogy a Jacobi-féle théta-függvény határértéke a Dirac-delta z-ben, ha . Kapcsolat a Dirichlet-féle L-függvényekkel Racionális argumentumokra a Hurwitz-féle zéta-függvény kifejezhető Dirichlet-féle L-függvények lineáris kombinációjaként, és fordítva: A Hurwitz-féle zéta-függvény egyenlő a ζ(s) Riemann-féle zéta-függvénnyel ha q = 1, ha q = 1/2 akkor (2s−1)ζ(s), és ha q = n/k ahol k > 2, (n,k) > 1 és 0 < n < k, akkor

és az összeg végigfut az összes Dirichlet-karakteren mod k. Megfordítva, tekintsük a következő lineáris kombinációt:

Teljesül még a multiplikációs tétel:

ahol a hasznos általánosítás az eloszlás reláció

(Ez utóbbi akkor teljesül, ha q természetes szám, és 1 − qa nem.) Nullhelyek Ha q = 1, akkor éppen a Riemann-féle zéta-függvényt kapjuk vissza. Ha q = 1/2, akkor a Riemann-féle zéta-függvény és egy egyszerű függvény szorzatát kapjuk, ami nehézzé teszi a nullhelyek keresését. Ha 0<q<1 és q≠1/2, akkor minden pozitív &epsilon-hoz van gyök az 1<Re(s)<1+&epsilon sávban. Ezt Davenport és Heilbronn bizonyította transzcendens esetre, és Cassels algebrai irracionális esetre.Davenport (1967) p.73

Racionális értékek A Hurwitz-féle zéta-függvénnyel több azonosság is levezethető a racionális számokra.Given by Az Euler-polinomok együtthatói:

és

Továbbá

ami teljesül, ha . Itt és a Legendre-féle khi-függvény segítségével vannak definiálva

és

A ν egész értékeire ezek kifejezhetők az Euler-polinomokkal. Ezek a relációkl megkaphatók a függvényegyenlet alkalmazásával a fenti Hurwitz-formulára. Speciális esetek, általánosítások A Hurwitz-féle zéta-függvény pozitív egész m-mel kapcsolódik a poligamma függvényhez:

Negatív egész −n számokra az értékek a Bernoulli-polinomokhoz kapcsolódnak:Apostol (1976) p.264

A Barnes-féle zéta-függvény a Hurwitz-féle zéta-függvény általánosítása.

A Lerch-transzcendens a Hurwitz-féle zéta-függvény általánosítása:

így

Hipergeometrikus függvény

ahol

Meijer-féle G-függvény

Alkalmazásai A Hurwitz-féle zéta-függvény több különböző tudományterületen felbukkan. Legtöbbször a számelmélet használja, itt jól kidolgozott elmélete van. Fraktálok, dinamikai rendszerek esetén is megjelenik. Az alkalmazott statisztikában kapcsolódik a Zipf-törvény, és a Zipf–Mandelbrot-törvény. A részecskefizikában Julian Schwinger egy képletében is megjelenik, hogy pontos eredményt adjon egy Dirac-elektron párképződésére uniform elektromos mezőben. Jegyzetek

Források

* Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, (12. fejezet) Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. . (See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.)

Fordítás

Kategória:Számelméleti függvények Kategória:Analitikus függvények