Ekvivalenciaosztálynak nevezzük egy halmaz azon részhalmazát, amelynek elemei egy megadott ekvivalenciareláció szerint ekvivalensek. Az ekvivalenciaosztályok a halmazt diszjunkt módon osztják fel.
Definíció
Legyen halmaz, pedig ekvivalenciareláció felett. Ekkor szerinti ekvivalenciaosztálynak nevezzük a következő halmazt:
Tulajdonságok
Diszjunkt halmazok
Az ekvivalenciaosztályok diszjunkt halmazok:
Bizonyítás
Indirekt módon bizonyítunk: tegyük fel, hogy van olyan elem, amely mindkét osztálynak eleme. Ekkor mindkét osztály minden eleme ekvivalens ezzel az elemmel, és az ekvivalencia definíciója alapján egymással is, tehát a két halmaz kölcsönösen részhalmaza egymásnak, azaz egyenlő.
Az ekvivalencia tranzitivitása alapján
Az ekvivalenciaosztály definíciója szerint pedig
QED
Faktorizálás
Ha ekvivalencia a halmaz felett, akkor minden eleme benne van valamelyik ekvivalenciaosztályban. A feletti ekvivalenciaosztályok halmazát faktorhalmazának nevezzük. Jelölése: .
Jegyzetek
További információk Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest
Források
I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig: Matematika kézikönyv
Kategória:Halmazelmélet