A matematika, azon belül az euklideszi geometria területén egy érintősokszög olyan konvex sokszög, ami beírt körrel rendelkezik. Ez olyan kör, ami a sokszög összes oldalával érintő helyzetben van. Az érintősokszögek duálisai a körbe írt sokszögek (húrsokszögek), melyek köréírt köre a sokszög összes csúcsán áthalad.

Minden háromszög érintősokszög, ahogy minden szabályos sokszög is. Az érintősokszögek közül az érintőnégyszögeket behatóan tanulmányozták; ide tartoznak a rombuszok és deltoidok.

Karakterizáció Egy konvex sokszögnek akkor és csak akkor van beírt köre, ha belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a közös pont a beírt kör középpontja (incenter).Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, p. 77.

Az n darab, a1, ..., an hosszúságú szakaszokból ebben a sorrendben pontosan akkor állítható elő érintősokszög, ha az

egyenletrendszernek van (x1, ..., xn)-re megoldása a valós számok körében. Ha van megoldás, akkor az x1, ..., xn számok a sokszög csúcsainak és az érintő pontoknak a távolságai (tangent lengths).

Egyediség és nem egyediség Ha páratlan számú n oldalról van szó, akkor ha az oldalhosszak kielégítik a fenti egyenletrendszert, akkor az előállítható érintősokszög egyedi. Ha n páratlan, akkor az adott oldalhosszakkal végtelen sok érintősokszög szerkeszthető. .p. 389 Például az érintőnégyszögek esetében, ha mind a négy oldal egyenlő hosszú, rombuszról van szó, melynek a hegyesszögei bármely hegyesszögű értéket felvehetnek, és minden rombusz érintőnégyszög.

Beírt kör sugara Ha a1, ..., an az érintősokszög n oldala, a beírt kör sugara:Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, Icons of Mathematics. An exploration of twenty key images, Mathematical Association of America, 2011, p. 125.

ahol T a sokszög területe, s pedig a félkerület. (Mivel minden háromszög érintősokszög, a képlet az összes háromszögre is igaz.)

Egyéb tulajdonságok Páratlan oldalszámú érintősokszögek oldalai pontosan akkor egyenlők, ha a szögeik is egyenlők (tehát ha a sokszög szabályos. Páros számú oldal esetében az oldalak pontosan akkor egyenlők, ha a páros, illetve a páratlan sorszámú szögek külön-külön egyenlőek (tehát ha az A, C, E ... szögek egyenlőek és a B, D, F ... szögek is egyenlőek).De Villiers, Michael. "Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons," Mathematical Gazette 95, March 2011, 102–107. Páros oldalszámú érintősokszögben a páratlan sorszámú oldalhosszak összege megegyezik a páros sorszámú oldalhosszak összegével.Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, The IMO Compendium, Springer, 2006, p. 561. Egy érintősokszög területe kisebb bármely más sokszögnél, ami ugyanazzal a kerülettel és sorrendben is megegyező belső szögekkel rendelkezik.p. 862 Bármely érintősokszög súlypontja, a kerületi pontjainak súlypontja és a beírt körének középpontja egy egyenesbe esnek, ahol a sokszög súlypontja 1:2 arányban osztja a kerületi pontok súlypontját a beírt kör középpontjával összekötő szakaszt.pp. 858–9

Érintőnégyszög

Érintőhatszög Az ABCDEF érintőhatszög AD, BE és CF átlói egy pontban metszik egymást a Brianchon-tétel értelmében.

Kapcsolódó szócikkek Húrsokszög Circumgon

Fordítás

Jegyzetek

Kategória:Sokszögek