A statisztikában az egyszempontos varianciaanalízis (rövidítve egyszempontos ANOVA) olyan technika, amely két vagy több minta átlagának összehasonlítására használható (az F-eloszlás használatával). Ez a technika csak numerikus válasz adatokkal használható, a függő változó, általában egy változó, és ezek numerikus, vagy (általában) kategorikus bemeneti adatok, a független változó, mindig egy változó, ezért "egyirányú".

Az ANOVA azt a nullhipotézist teszteli, hogy a minták minden csoportban azonos átlagértékű populációkból kerülnek kiválasztásra. Ehhez két becslés készül a lakosság varianciájáról. Ezek a becslések különböző feltételezésekre támaszkodnak (lásd alább). Az ANOVA képez egy F-statisztikát,  ami a mintákon belüli átlagok varianciájának a varianciahányadosa. Hogyha a csoportátlagokat azonos átlagértékű populációkból vettük, akkor a csoportok közötti variancia alacsonyabb kellene, hogy legyen, mint a minták varianciája, követve a központi határeloszlás-tételt. Egy magasabb arány tehát implikálja, hogy a mintákat különböző átlagértékű populációkból vettük.

Jellemzően azonban az egyszempontos ANOVA legalább három csoport közötti különbségek mérésére használt teszt, mivel a két csoport eseté t-próba alkalmazható (Gosset, 1908). Amikor csak két csoport átlagát hasonlítjuk össze,  a t-próba valamint az F-teszt egyenértékű; az összefüggés az ANOVA és a t között F = t2. Az egyszempontos ANOVA kiterjesztése a kétszempontos varianciaanalízis, ami két különböző kategorikus független változó hatását vizsgálja a függő változóra.

Feltételezések Az egyszempontos ANOVA eredményei addig tekinthetőek megbízhatónak, amíg a következő feltételezések teljesülnek:

Válasz változó reziduálisok normális eloszlásúak (vagy közel normális eloszlásúak). A populációk varianciája egyenlő. Adott csoport válaszai független, azonos eloszlású, normális eloszlású véletlen változók (nem egy egyszerű véletlen minta (SRS)).

Ha az adatok ordinálisak, nem-parametrikus alternatívaként például a Kruskal–Wallis egyutas varianciaanalízis használható. Ha a varianciák nem egyenlőek, a kétmintás Welch t-teszt általánosítását lehet használni.

Eltávolodás a populáció normalitásától Az ANOVA egy viszonylag robusztus eljárás, a normalitás megsértésére való tekintettel is.

Az egyszempontos ANOVA általánosítható faktoriális, többváltozós elrendezésekhez, valamint kovariancia elemzéséhez is.

Gyakran kijelentetik a népszerű irodalomban, hogy ezen F-tesztek egyike sem robusztus, amikor súlyosan sérül az a feltételezés, hogy az egyes populációk követik normális eloszlást, különösen a kis alfa szintek és az aszimmetrikus elrendezés miatt. Emellett azt is állítják, hogy ha a mögöttes feltételezés, a homoszkedaszticitás megsérül, az elsőfajú hiba lehetősége jelentősen nő.

Azonban az 1950-es években és korábban készült munkák alapján ez tévedés. Az első átfogó vizsgálat a kérdésre a Monte Carlo szimuláció volt Donaldson (1966) által. Megmutatta, hogy a normalitás általános sérülései során (pozitív ferdeség, nem egyenlő szórások) "az F-teszt olyan konzervatív", hogy kevésbé valószínű azt találnunk, hogy egy változó szignifikáns, mint azt, hogy nem. Azonban, hogyha akár a minta mérete, vagy a cellák száma növekszik, "a teljesítmény görbék a normál eloszlás felé konvergálnak". Tiku (1971) megállapította, hogy "a nem-normál elméletű F ereje eltér a normál elmélet erejétől, egy korrekciós idő által, amely élesen csökken a minta méretének  növekedésével." A probléma a nem-normalitással, különösen a nagy minták esetén, sokkal kevésbé súlyos, mint azt népszerű cikkek sejtetik.

Az aktuális nézet szerint a "Monte-Carlo tanulmányokat széles körben használták a normál eloszlás-alapú vizsgálatokhoz meghatározandó, hogy milyen érzékenyek ezek a normál eloszlás megsértésének feltételezésére, a vizsgált változókra vonatkozóan a populáción belül . Az általános következtetés ezekből a vizsgálatokból, hogy az ilyen sértések következményei kevésbé súlyosak, mint azt korábban gondolták. Ezek a következtetések növelték az eloszlás-függő statisztikai tesztek általános népszerűségét rengeteg kutatási területen."

Nemparaméteres alternatívákért faktoriális elrendezésben, lásd Sawilowsky. További párbeszédért lásd ANOVA rangsorolva.

Fixált hatások, teljesen randomizált kísérlet, kiegyensúlyozatlan adatok esete

A modell A normál lineáris modell a kezelt csoportokat a valószínűségi disztribúció alapján írja le, amelyej hasonló harang alakú (normál) görbék más átlagokkal. Tehát a modellek illeszkedési csupán az egyes kezelési csoportok átlagait és a variancia számítását igényli. Az átlagok és a variancia számítása a hipotézis tesztelés részeként zajlik.

A leggyakrabban használt normál lineáris modellek egy teljesen randomizált kísérlethez:

(az átlagok modell)

vagy

(a hatások modell)

ahol

index a kísérleti egységek fölött index a kezelt csoportok között a kísérleti egységek száma a j-edik kezelt csoportban a kísérleti egységek teljes száma megfigyelések  a j-edik kezelt csoportokra vonatkozó megfigyelések átlaga a megfigyelések nagy átlaga a j-edik kezelési hatás, a nagy átlagtól való eltérés

, normál eloszlású zéró átlagú random hibák.

Az indexet " " a kísérleti egységek felett több módon lehet értelmezni. Egyes kísérleteknél, ugyanaz a kísérleti egység  számos kezeléshez tartozik;  egységre. Máskor minden csoportban van külön, egyedi kísérleti egységek vannak; ilyenkor  egyszerűen egy indexe a -edik listának.

Az adatok és az adatok statisztikai összegei A kísérleti megfigyeléseket elrendezhetjük oszloponként csoportokban: Lists of Group Observations123Group Summary StatisticsGrand Summary Statistics# Observed# ObservedSumSumSum SqSum SqMeanMeanVarianceVariance Összehasonlítva a modellt az összegzésekkel: és . A nagy átlag és a nagy variancia a nagy összegekből számolandó, nem pedig a csoport átlagokból és szórásokból.

A hipotézis tesztek Az összefoglaló statisztikákat figyelembe véve a hipotézis teszt számításait láthatjuk táblázatos formában. Míg két oszlop négyzetösszeg (SS) látható, addig csak egy oszlop is elég az eredmények megjelenítéséhez. +ANOVA table for fixed model, single factor, fully randomized experiment Source of variationSums of squaresSums of squaresDegrees of freedomMean squareFExplanatory SSComputational SSDFMSTreatmentsErrorTotal a modell -ének becsült varianciája.

Elemzési összefoglaló Az ANOVA elemzés alapja egy sor számításon áll. Az adatokat táblázatos formában gyűjti. Aztán

Minden egyes kezelési csoport összegezve van a kísérleti egységek száma, két összeg, egy átlag és egy variancia alapján. A kezelési csoport összefoglalók kombinálva vannak, hogy biztosítsák az egységek számáról és a végösszegek összértékét. A nagy átlag és a nagy variancia a nagy végösszegekből számolandó. A kezelési és a nagy átlagokat felhasználja a modell. A három szabadságfok és négyzetösszeg a végösszegekből számolandó. A számítógép általában az F-értékből határozza meg a p-értéket, ami megállapítja, hogy a kezelések szignifikáns eredményeket szültek-e. Hogyha az eredmények szignifikánsak, akkor a modellnek előreláthatóan van érvényessége.

Ha a kísérlet kiegyensúlyozott, minden  feltétel egyenlő, tehát a négyzetösszeg számolások egyszerűsödnek. Egy bonyolultabb kísérletben, ahol a kísérleti egységek (vagy a környezeti hatások) nem homogének, sorban értelmezett statisztikákat is használunk az elemzésben. Az extra feltételek meghatározása csökkenti az elérhető szabadságfokok számát.

Példa Képzeljünk el egy kísérletet, hogy egy faktor 3 szintjének hatását tanulmányozzuk (pl. három szintű permetező egy növényültetvényen). Hogyha 6 megfigyelésünk van minden szinten, akkor le tudjuk írni a lehetséges kimeneteleket az alábbi táblázatnak megfelelően, ahol a1, a2, és a3 a faktor 3 szintje, melyeket megfigyelünk.

{| style="width:15%; text-align:center;" class="wikitable" !a1 !a2 !a3 |- |6 |8 |13 |- |8 |12 |9 |- |4 |9 |11 |- |5 |11 |8 |- |3 |6 |7 |- |4 |8 |12

A nullhipotézis (H0), az összes F-tesztre vonatkozóan erre a kísérletre nézve az lenne, hogy a faktor három szintje ugyanazt a hatást váltja ki, átlagosan. Hogy kiszámítsuk az F-arányt:

1. lépés: Számítsuk ki az átlagot az egyes csoportokon belül:

2. lépés: Számítsuk ki a teljes átlagot

ahol a a csoportok száma.

3. lépés: Számítsuk ki a csoportok közötti (between-group) négyzetösszegek különbségét:

ahol n az adat értékek száma csoportonként.

A csoportok közötti szabadságfok eggyel kevesebb, mint a csoportok száma

így a csoportok közötti átlagos négyzetes érték:

4. lépés: Számítsuk ki a csoporton belüli (within-group) négyzetösszeget. Kezdjük adatok központosításával az egyes csoportokban a1a2a36-5=18-9=-113-10=38-5=312-9=39-10=-14-5=-19-9=011-10=15-5=011-9=28-10=-23-5=-26-9=-37-10=-34-5=-18-9=-112-10=2 A csoporton belüli négyzetösszeg az alábbi táblázat minden értékének négyzetösszege:

A csoporton belüli szabadságfok:

Így a csoporton belüli átlag négyzet értéke:

jobbra|500x500px

5. lépés: Az F-arány

A kritikus érték az a szám, amelyet a teszt statisztika meg kell, hogy haladjon, hogy elutasíthassuk a tesztet. Ebben az esetben, Fcrit(2,15) = 3.68 ahol α = 0.05. Mivel F=9.3 > 3.68, az eredmények szignifikánsak 5% - os szignifikancia szinten. Tehát el kell utasítanunk a nullhipotézist, következtetésként levonva, hogy erős bizonyíték áll fent a három csoport elvárt értékeinek különbözőségére. Erre a tesztre vonatkozó p-érték 0.002.

Az F-teszt elvégzése után, szokás szerint "post-hoc" tesztet futtatunk a csoportátlagokról. Ebben az esetben, az első két csoport átlaga 4 egységgel különbözik, az első és a harmadik csoport átlaga 5 egységgel, a második és a harmadik csoport átlaga pedig csak egy egységgel. A standard hiba minden ilyen különbségre nézve . Következésképp, az első csoport erősen különbözik a többitől, mivel az átlagos különbség többszöröse a standard hibának, szóval magabiztosan kijelenthetjük, hogy az első csoport populációjának az átlaga különbözik a többi csoport populációjának átlagától. Ellenben nincs bizonyíték arra, hogy a második és a harmadik csoportnak eltérő populáció átlagai vannak, mivel egy egység átlagos különbsége összehasonlítható a standard hibával. Megjegyzés: az F(x, y) az F-eloszlás kumulatív eloszlás függvényének x szabadságfokú számlálóját, y szabadságfokú nevezőjét jelöli.

Kapcsolódó szócikkek

Varianciaanalízis F próba (Tartalmaz egy egyirányú ANOVA példát) Vegyes modell Többváltozós varianciaanalízis (MANOVA) Repeated measures ANOVA Kétszempontos ANOVA Welch t-teszt

Jegyzetek

További információk

Kategória:Statisztika