bélyegkép|jobbra|300px|A normális eloszlás sűrűségfüggvénye, ha
Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye
ahol a két paraméter, m és σ ∈ R, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.
Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:
Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.
A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.
A normális eloszlást jellemző függvények
Eloszlásfüggvénye
Karakterisztikus függvénye
Sűrűségfüggvényének tulajdonságai Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető). Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.
Folytonos függvény.
A normális eloszlást jellemző számok
Várható értéke
Szórása
Momentumai
Abszolút momentumai
Ferdesége
Lapultsága
Normális eloszlású valószínűségi változó néhány fontosabb tulajdonsága
Ha X ~ N(m, σ²), akkor bármilyen nullától különböző valós a és bármilyen valós b szám esetén az Y = aX + b valószínűségi változó is normális eloszlást követ, pontosabban Y ~ N(am + b, a²σ²). Az eloszlás eme tulajdonságán alapul a standardizálás módszere: ha X ~ N(m, σ²), akkor (X–m)/σ ~ N(0, 1). Normális eloszlású független valószínűségi változók összege is normális eloszlású. Pontosabban ha X1 ~ N(m1, σ1²) és X2 ~ N(m2, σ2²) független valószínűségi változók, akkor X1 + X2 ~ N(m1 + m2, σ1² + σ2²). Fordítva: ha X1 és X2 független valószínűségi változó, és X1 + X2 normális eloszlású, akkor X1 is és X2 is normális eloszlású.
Megjelenése máshol 1989-ben a Német Szövetségi Bank olyan 10 márkás bankjegyet bocsátott ki, melyen Gauss képe mellett a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényének grafikonja és képlete is látható. Ez a bankjegy 2001-ig volt forgalomban, amikor is Németország áttért az euróra.
Jegyzetek
Források Fazekas István (szerk.): Bevezetés a matematikai statisztikába (Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2000) Lukács Ottó: Matematikai statisztika (Műszaki, 2002)
További információk
A standard normális eloszlású változó eloszlásfüggvényének táblázata Normáleloszlás-táblázat Interaktív Java szimuláció a normális (és további 10 folytonos) eloszlás tanulmányozásához . Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring Interaktív Java szimuláció kockadobásokról 1-30 kockával. A pontösszegek hisztogramjai a centrális határeloszlás-tételt szemléltetik . Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring Interaktív Flash szimuláció a Galton-deszkáról. A centrális határeloszlás-tételt szemlélteti kétkimenetelű kísérletekkel. Szerző: Duncan Keith Interaktív Java szimuláció a kétdimenziós normális eloszlásról . Szerzők: Kyle Siegrist & Dawn Duehring Interaktív Flash szimuláció a standard normális eloszlásértékekről (magyarított) . Szerző: Jim Reed Online kalkulátor Normális eloszlás. Szerző: René Vápeník
Kapcsolódó szócikkek 68–95–99,7 szabály Khí-négyzet eloszlás Centrális határeloszlás-tétel Log-normális eloszlás
Kategória:Valószínűség-eloszlások