Egy valószínűségi változó centrális momentumai vagy centrált momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik centrális momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E((X – E(X))k) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli. Ha nincs várható érték, mint a Cauchy-eloszlás esetén, akkor centrális momentumok sincsenek.
Az X valószínűségi változó k-adik centrális momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől, vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E((X – E(X))k)-t. Bizonyos – főként régebbi – könyvekben találkozhatunk a μk = E((X – E(X))k) jelöléssel, míg más könyvekben ugyanezzel a momentumot jelölik, s mk-val jelölik a centrális momentumot. Egyaránt definiálhatók egy- és többváltozós eloszlásokra.
Egyváltozós momentumok Abszolút folytonos eloszlás esetén, ha f(x) a sűrűségfüggvény, akkor az n-edik centrális momentum
Az első néhány momentumnak intuitív értelmezése van: A nulladik centrális momentum μ0 = 1. Az első centrális momentum nem a várható érték, hanem μ1 = 0. A második centrális momentum μ2 = σ2, szórásnégyzet vagy variancia. A harmadik és a negyedik centrális momentumokat a ferdeség és a lapultság kiszámításához használják. Tulajdonságok A centrális momentumok eltolásinvariánsak, azaz minden X valószínűségi változóra és c tetszőleges konstansra
Minden n-re, az n-edik centrális momentum n-edfokban homogén:
Ha n = 1, 2 vagy 3, akkor az X és Y független változók esetén a momentum additív: ha n ∈ }.
Az eltolásinvarianciát és additivitást n ≥ 4 esetén az n-edik kumuláns őrzi meg, aminek jele κn(X). n = 1 esetén a kumuláns a várható érték. n = 2 vagy 3 esetén a kumuláns megegyezik a megfelelő centrális momentummal. n ≥ 4 esetén a kumuláns az első n momentum (a nulladik nélkül) n-edfokú polinomja, és az első n centrális momentumnak is n-edfokú polinomja. A centrális és a nem centrális momentumok kapcsolata Néha kényelmesebb nem centrális momentumok helyett centrális momentumokkal számolni. A centrális momentumra való áttérés egyenlete:
ahol μ a várható érték. Megfordítva, a nem centrális momentum:
Az n = 2, 3, 4 esetben ez így módosul:
hagyományosabb jelöléssel a szórásnégyzet
Továbbá
Az együtthatók a Pascal-háromszög alapján adhatók meg,http://mathworld.wolfram.com/CentralMoment.html
mivel
Legyen egy valószínűségi változó, ami megkapható néhány azonos eloszlású független valószínűségi változó összegeként:
ahol szintén valószínűségi változó, és független az Yi valószínűségi változóktól, de eloszlása különbözhet azokétól. Ekkor momentumai:
ahol ha . Szimmetrikus eloszlások A szimmetrikus eloszlások páratlan rendű centrális momentumai nullák, mivel az összegben a várható értéknél kisebb értékekből számított tagok és a várható értéknél nagyobb értékekből számított tagok kiejtik egymást.
Többdimenziós centrális momentumok Egy kétváltozós közös eloszlás (j,k)-adik centrális momentumai, ha a közös sűrűségfüggvény f(x,y):
További momentumok
A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában más momentumok is előfordulnak, ezek közül a legfontosabbak:
momentum, abszolút momentum, abszolút centrális momentum és faktoriális momentum.
Megjegyzések
A k-adik centrális momentum kifejezés helyett szokás k-ad rendű centrális momentumot is használni. Látható, hogy a második centrális momentum azonos a szórásnégyzettel, vagyis a centrális momentum tekinthető a szórásnégyzet általánosításának is.
Jegyzetek
Források Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest. Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest. Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás
fr:Moment (mathématiques)#Moment centré