bélyegkép|Hamilton A matematikában a kvaterniók a komplex számok négy dimenzióra történő nem kommutatív kiterjesztései. Először Sir William Rowan Hamilton ír matematikus, fizikus és csillagász vezette be 1843-ban (Hamilton-féle számoknak is nevezik).
Definíció Csoportelméleti definíció Hasonlóan ahhoz, ahogy a komplex számokat a valós számkör i-vel való kiegészítésével kaptuk, ahol i kielégíti az i2 = −1 egyenlőséget, a kvaterniókat az i, j és k elemeknek a valós számkörhöz való hozzávételével nyerjük, ahol i, j és k teljesíti a következőket:
Ha a szorzást asszociatívnak tekintjük (és valóban az is), a következő egyenlőségek állnak fenn:
Minden kvaternió felírható a báziskvaterniók (1, i, j és k) lineáris kombinációjaként, azaz minden kvaternió egyértelműen kifejezhető a + bi + cj + dk alakban, ahol a, b, c és d valós számok.
Halmazelméleti definíció
=(a, b, c, d) 4
Halmazelméleti szempontból a kvaterniók a komplex számok önmagukkal vett direktszorzataként értelmezhetők, a következő összeadási és szorzási szabályokkal: (a, b, c, d)+(A, B, C, D) = (a+A, b+B, c+C, d+D) Szorzásukat egyszerűbb kifejezni az alábbi jelölésekkel: (a, b, c, d) = (a, v), ahol a egy valós szám, v egy háromdimenziós vektor, valamint vV a skaláris szorzatukat, v V pedig a vektoriális szorzatukat jelöli. Ekkor (a, v) (A, V) = (aA-vV, aV + Av + v V), ahol a jelöli a szokásos skalár-vektor szorzást is.
A kvaterniók ferdetestet alkotnak.
Komplex mátrixok Ez a konstrukció a kvaterniókat részgyűrűnek tekinti a -es mátrixok gyűrűjében. Az 1, i, j, k báziskvaterniókat ezek a mátrixok ábrázolják:
ahol is a komplex képzetes egységet jelöli az egyértelműség kedvéért.
Ebben az ábrázolásban
ahol az i-edik Pauli-mátrixot jelöli.
Eszerint a kvaterniók halmaza megfelel a
mátrixok halmazának.
Ezeknek a mátrixoknak mindig a determinánsa, amiből már következik a nullosztómentesség, hiszen a mátrixok gyűrűjében a nullosztók determinánsa nulla, itt pedig az összes nem nulla mátrix determinánsa pozitív. A műveletek asszociativitása a mátrixműveletek asszociativitásából következik. Az szorzására vonatkozó szabályok egyszerű számolással igazolhatók.
A kvaterniók másként is ábrázolhatók a komplex számok fölötti -es mátrixok gyűrűjében, de az összes többi lehetőség konjugált a már leírt változathoz.
Hányadosalgebra Az absztrakt algebra lehetőséget ad a kvaterniók hányadosalgebraként történő definiálására. Eszerint a kvaterniók előállnak a háromhatározatlanú polinomok nem kommutatív gyűrűjének a Hamilton-szorzásszabályok alkotta ideállal vett faktoraként.
Egy másik módszerhez elég két határozatlan. Ekkor a kvaterniók algebrája az által generált kétdimenziós euklideszi sík Clifford-algebrájaként áll elő.
A Clifford-algebrák egységelemes asszociatív algebrák, amiket egy kvadratikus alakkal ellátott vektortér generál. A Cℓ(V,Q) Clifford-algebra a legszabadabb algebra azzal a kikötéssel, hogy:
minden
A háromdimenziós forgatásokkal való összefüggésben fontos szerephez jut az, hogy a kvaterniók algebrája az által generált euklideszi tér Clifford-algebrájának páros részének tekinthető.
Alapműveletek Valós és képzetes rész Az
kvaternió valós része:
míg a többi koordináta a képzetes részhez tartozik:
A képzetes részt gyakran a valós háromdimenziós vektorok vektorterével azonosítják:
.
Ha az kvaterniókat a valós skalárból és a háromdimenziós vektorból álló párokkal azonosítjuk:
, ahol és ,
akkor a szorzás felírható így:
A valós számok azonosíthatók azokkal a kvaterniókkal, amiknek képzetes része a nullvektor.
Azokat a kvaterniókat, amiknek a valós része nulla, tiszta, vagy tisztán képzetes kvaternióknak nevezik. Ezek éppen azok a kvaterniók, aminek négyzete valós, és nem pozitív. A tisztán képzetes kvaterniók halmaza:
Ez egy háromdimenziós vektortér, aminek egy bázisa .
Két tiszta képzetes kvaternió szorzatában a valós rész a tisztán képzetes kvaterniók skaláris szorzatának mínusz egyszerese; a képzetes rész a tisztán képzetes kvaterniók vektoriális szorzataként előálló tisztán képzetes kvaternió:
Konjugálás és norma Egy kvaternió konjugáltjában a valós rész ugyanaz, a képzetes rész ellentett:
A konjugált másként is kifejezhető:
A konjugálás legfontosabb tulajdonságai:
, a konjugált konjugáltja az eredeti kvaternió és minden valós λ számra, vagyis a konjugálás lineáris leképezés fölött
, az vektorok normája mindig valós, és sohasem negatív
Ezt a mennyiséget az kvaternió normájának is nevezik.
Erre a normára teljesül az
összefüggés, így ezzel a normával a kvaterniók Banach-algebrát alkotnak.
Ahogy a komplex számoknál, úgy a kvaternióknál is megadható a valós és a képzetes rész a konjugálás segítségével:
a valós rész; a képzetes rész.
Ha egy kvaternió megegyezik a konjugáltjával, akkor valós. Ha a konjugálás ellentettjére változtatja, akkor tisztán képzetes.
A norma kifejezhető a konjugálással:
Invertálás Az kvaternió inverze az az x−1 kvaternió, amivel
és
Mivel a szorzás nem kommutatív, azért kétféle osztás definiálható:
és
amik rendre a
és az
egyenleteket oldják meg.
A két egyenlet megoldása akkor és csak akkor egyezik meg, ha a valós, mert csak a valósok cserélhetők fel az összes kvaternióval. Az absztrakt algebra nyelvén úgy mondjuk, hogy a kvaterniók ferdetestének centruma a valós számok halmaza. Így a kifejezésbe hallgatólagosan beleértjük, hogy a valós.
Ezen kívül teljesül
ugyanis
és
Ezzel egy kvaternió inverze
mivelhogy
valós, és , ezért ez a kifejezés tört alakban is írható:
Egységkvaterniók Az egységkvaterniók az 1 normájú kvaterniók. Az 1 abszolútértékű komplex számokhoz hasonlóan
Tetszőleges kvaternióra
az x kvaternióval megegyező irányú egységkvaternió.
Egységkvaternió inverze újra egységkvaternió. Két egységkvaternió szorzata megint egységkvaternió. A szorzás asszociativitása miatt az egységkvaterniók csoportot alkotnak a szorzásra.
Az
kvaterniók szintén egységkvaterniók. Részcsoportot alkotnak az egységkvaterniók csoportjában, az úgynevezett kvaterniócsoportot.
A Lie-csoport olyan csoport, ami a szorzáson és az invertáláson kívül még egy topológiával is el van látva, amire nézve az előbbi műveletek folytonosak.
Az egységkvaterniók halmaza egy háromdimenziós gömbfelszín a négydimenziós térben, ami ezzel Lie-csoporttá válik. A hozzá tartozó Lie-algebra a tiszta kvaterniók tere. A mátrixos ábrázolásban az egységkvaterniók csoportját éppen az SU(2) speciális unitér csoport ábrázolja. Ez megmagyarázza a kapcsolatot a Pauli-mátrixokkal.
A tiszta egységkvaterniók éppen azok a kvaterniók, amiknek négyzete -1:
Geometriailag a tiszta egységkvaterniók egy kétdimenziós gömbfelszínt alkotnak a háromdimenziós térben. Minden kvaternió, aminek a négyzete, definiálja a komplex számok egy beágyazását:
De ez csak egy beágyazás. A kvaterniók nem alkotnak algebrát a komplex számok fölött.
Trigonometrikus alak Ahogy a komplex számok,
úgy a kvaterniók is leírhatók trigonometrikus alakban.
Az tiszta egységkvaterniók trigonometrikus alakja:
és ez egyértelmű, ha
A kvaterniókra kiterjesztett exponenciális függvény segítségével:
más szóval: az exponenciális leképezés bijekció az normájú tiszta kvaterniók halmaza és a -1 nélküli egységkvaterniók halmaza között.
Általánosabban, minden nem valós kvaternió egyértelműen felírható, mint
ahol , mint előbb
vagy a negatív valós számokon kívüli kvaterniók
,
ahol tiszta kvaternió, amire .
Konstrukciók kvaterniókkal Szorzatok Két kvaternió képzetes részének vektoriális szorzata a két kvaternió kommutátorának kétszerese:
Ha és ,
akkor
Két kvaternió, mint négydimenziós vektor skalárszorzata éppen vagy :
A kvaternió koordinátái megadhatók, mint
Két kvaternió Minkowski-skalárszorzata az xy szorzat valós része:
Vektoranalízis A következőkben azonosítjuk a tiszta kvaterniókat vektoraival.
Ha így definiáljuk a nabla operátort:
és az
vektormezőre alkalmazzuk, akkor kapjuk, hogy:
Itt a valós, a képzetes rész.
A nabla operátort kéteszer az függvényre alkalmazva:
azaz a operátor úgy hat, mint a Laplace-operátor négyzetgyöke. Forgatások a háromdimenziós térben Az egységkvaterniók elegáns módot kínálnak a forgatások leírására a háromdimenziós térben: rögzített q kvaternióra a
leképezés forgatás -ben.
Ha trigonometrikus alakba írjuk a q kvaterniót:
ahol , és tiszta egységkvaternió, akkor a forgatás szöge , és tengelye .
Minden q egységkvaternió ugyanazt a forgatást definiálja, mint -q; például 1 és -1 is az identitásnak felel meg. Tehát az ortogonális mátrixokkal ellenben ez a megfeleltetés nem egy-egyértelmű: minden R forgatáshoz két egységkvaternió van, amire .
Forgatások egymásutánja, más néven szorzata az egységkvaterniók szorzásának felel meg:
A forgásirány megfordítása a konjugálás megfelelője:
ami az egységkvaterniók körében ugyanaz, mint az invertálás.
Mindezek miatt ez a leképezés homomorfizmus, de nem izomorfizmus. Kapcsolat az ortogonális mátrixokkal A egységkvaterniónak megfelelő ortogonális mátrix
A mátrixból a kvaterniók meghatározásához elég a forgatás tengelyét és szögét megadni, és a trigonometrikus képletbe behelyettesíteni. Kapcsolat az Euler-szögekkel Az Euler-szögekre különféle konvenciók vannak. Itt azokat a forgatásokat tekintjük, amik megkaphatók úgy, hogy először a z tengely körül , utána az új x tengely körül , végül az új z tengely körül szöggel forgatva kapunk. Az egyes forgatások rendre a
kvaternióknak felelnek meg.
Mivel az elforgatott tengelyt forgatjuk, a szorzás sorrendje fordított:
Hasonlók adódnak más konvenciók esetén is. A forgáscsoport univerzális fedése Az egységnyi kvaterniók:
csoportja izomorf a 2*2-es, unitér mátrixok - SU(2) - csoportjával, amiért az egységkvaterniókat azonosíthatjuk a SU(2) generátoraival:
p. 95.
Másrészről találunk az egységnyi kvaterinók csoportjából egy 2:1 művelettartó leképezést (homomorfizmust) az SO(3) forgatáscsoportba, ugyanis q és -q ugyanahhoz a Q rotációs mátrixhoz tartozik. Általánosan a (x,y,z) vektor körül szöggel forgató (ahol és ) Q mátrix:
Ez egy kétrétegű fedés, aminek magja a centrum. A fedés univerzális, hiszen egyszeresen összefüggő. Spincsoportnak is nevezik, és -mal is jelölik, és szorosan kapcsolódik a fizikai spinhez. Az → leképezés egy úgynevezett spinorábrázolás, azaz egy olyan ábrázolás, amiben a négyzetes mátrixok mérete páros. Három báziskvaternió, i, j és k az SU(2) három hermitikus generáló mátrixának, a Pauli-mátrixoknak felel meg: , ,
Így függ össze a két alaptétel:
i = σx/i, j = σy/i és k = σz/i,
ahol i a komplex képzetes egység, így az elméleti fizikából ismert σxσy= iσz kapcsolat éppen az i j=k relációnak felel meg. A σ-mátrixok hermitikus voltuk miatt mérhető mennyiségekként jöhetnek szóba a kvantummechanikában, ellentétben a i, j és a k báziskvaterniókkal, ami fontos a kvantummechanika matematikai modellezésében. Közelebbről , aminek valós vektorkoordinátái αx, αy és αz. Az 1/2 szorzónak többek között az a hatása,hogy a spinorok a vektorokkal ellentétben nem kerülnek vissza alaphelyzetükbe 2π-vel (=360 fokkal) elforgatva, hanem csak annak kétszerese után. A négydimenziós tér ortogonális leképezései A háromdimenziós esethez hasonlóan minden irányítástartó hasonlósági transzformációja felírható, mint:
az egységkvaterniókkal.
Teljesül, hogy:
Ez a konstrukció fedést ad:
aminek magja . A kvaterniók algebrája Izomorfia erejéig három véges dimenziós asszociatív algebra van a valós számok felett: saját maga, algebrai lezártja, és a felette vett kvaterniók.Corollary 6.8 in Chapter iX von Hungerford: Algebra (Springer 1974)
centruma , ezért definiálható rajta redukált norma és redukált nyom:
és
A valós számokról a komplex számokra áttérve a kvaterniók algebrája mátrixalgebrává válik:
A tenzorszorzat faktorra vett komplex konjugáció involúciót szolgáltat a mátrixalgebrában, aminek invariánsai egy -val izomorf algebrát alkotnak.
Az
ahol az
involúció megfelel a kvaterniók fenti mátrixmodelljének.