Számelméleti függvénynek nevezünk a matematikában egy olyan függvényt, amelynek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (kivéve esetleg a nullát), értékkészlete pedig a komplex számok egy részhalmaza. Vagyis alakú függvényekről van szó.
Példák
Rengetegféle számelméleti függvényt definiáltak és vizsgáltak már. Ezek közül néhány nevezetes függvény nevét (ha van) és jelét foglaljuk össze. (A továbbiakban jelölje a pozitív prímszámok halmazát.)
Egész értékű számelméleti függvények
jel név (nevek) jelentés definitív képlet(ek) d(n) osztószám-függvény az argumentum osztóinak száma := := σ(n) osztóösszeg-függvény (szigma-függvény) az argumentum osztóinak összege s(n) valódiosztóösszeg-függvény az argumentum valódi osztóinak összege σx(n) osztóhatványösszeg-függvény az argumentum osztóinak valós, rögzített kitevőjű hatványának összege ; (x∈R) P(n) osztószorzat-függvény az argumentum osztóinak szorzata ν(n) nű-függvény az argumentum prímtényezőinek száma (multiplicitással számolva) – χ(n) khí-függvény az argumentum különböző prímtényezőinek száma := := φ(n) Euler-függvény (fí-függvény) az argumentumhoz relatív prím, nála nem nagyobb pozitív egészek száma N→N; φ(n):= │{k∈Z : 1≤k≤n ∧ (n, k)=1 }│ μ(n) Möbius-függvény (mű-függvény) egy, a számok négyzetmentességét „mérő” függvény ; π(n) diszkrét prímszámláló függvény az argumentumnál nem nagyobb prímek száma N→N; π(n) := │{p∈N: d(p)=2 ∧ p≤n}│ g(n) lnko-összeg-függvény az argumentumnál nem nagyobb pozitív egészek és az argumentum legnagyobb közös osztóinak összege Itt (n,i) az n,i számok legnagyobb közös osztóját jelöli
Valós értékű számelméleti függvények A Λ(n) von Mangoldt-függvény:
Komplex értékű számelméleti függvények A Riemann-féle zéta-függvény Ha k pozitív egész, a mod(k) Dirichlet-karakterek fontos speciális függvényosztály.
Fontosabb fogalmak Additivitás és multiplikativitás Egy számelméleti függvény additív, ha bármely , esetén . Ha az feltétel elhagyható, akkor totálisan additív számelméleti függvényről beszélünk. Egy számelméleti függvény multiplikatív, ha bármely , esetén . Ha az feltétel elhagyható, akkor totálisan multiplikatív számelméleti függvényről beszélünk. Dirichlet-konvolúció (Dirichlet-összeg, konvolúció) Két számelméleti függvény (Dirichlet-)konvolúcióját így definiálják:
ahol d végigmegy n összes osztóján.
Egy f számelméleti függvény összegfüggvénye megkapható a konstans 1 függvénnyel való konvolválással:
ahol a konstans 1 függvény.
invertálható a konvolválásra; inverze a Möbius-féle μ függvény. Ebből adódik a Möbius-féle megfordítási képlet, amivel az összegfüggvényből visszanyerhető a függvény.
A konvolúcióra teljesülnek a következők: Két multiplikatív függvény konvolúciója multiplikatív Két teljesen multiplikatív függvény konvolúciója nem biztos, hogy teljesen multiplikatív Minden számelméleti függvény invertálható, ami az 1 helyen nem nulla Ez az inverz éppen akkor multiplikatív, ha az eredeti függvény is az Teljesen multiplikatív függvény inverze nem feltétlenül teljesen multiplikatív A konvolúció egységeleme a η függvény, amit így értelmeznek: η(1)=1, és η(n)=0, ha n>1. A számelméleti függvények algebrai struktúrája a komponensenkénti összeadásra, a skalárral szorzásra, és a konvolúcióra nézve: komplex vektortér integritási tartomány algebra Ennek a struktúrának a multiplikatív csoportját azok a függvények alkotják, amik nem tűnnek el az 1 helyen. Ennek valódi részcsoportja a multiplikatív függvények csoportja.
A konvolúció helyett a komponensenkénti szorzással is kommutatív algebrát alkotnak, ez azonban számelméletileg nem érdekes. Ez az algebra izomorf a komplex számsorozatok algebrájával.
Bell-sorozat Ha f számelméleti függvény, és p adott prím, akkor f Bell-sorozata így definiálható modulo p:
Belátható, hogy két számelméleti függvény azonos, ha összes Bell-sorozatuk megegyezik. Két számelméleti függvény egyenlő akkor és csak akkor, ha:
minden p prímre.
Jelölje most f és g konvolúcióját h. Ekkor minden p prímre:
Ezzel könnyű Dirichlet-invertálni a számelméleti függvényeket.
Ha f teljesen multiplikatív, akkor:
Néhány számelméleti függvény Bell-sorozata: A Möbius-függvényé Az Euler-féle függvényé A függvényé A Liouville-függvényé Az Idk hatványfüggvényé Idk a teljesen multiplikatív hatványfüggvény: . A osztóösszeg-függvényé
Források Freud–Gyarmati: Számelmélet Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, Jegyzetek
Külső hivatkozások W. W. L. Chen: Distribution of prime numbers (angol nyelvű PDF)
Szamelmeleti Szamelmeleti Kategória:Számelméleti függvények