Az elsőrendű nyelvek (vagy másképpen elsőrendű logikai nyelvek) fogalma a matematikai logika egyik legalapvetőbb fogalma. Ezeket és általában az n-edrendű nyelv fogalmát elsősorban annak modellelmélet nevű ága vizsgálja. Az elsőrendű nyelvek matematikai elméleteinek összefoglaló neve elsőrendű logika.

Egy elsőrendű nyelv számos olyan matematikai logikai kifejezés (azaz betűsorozat) halmaza, melyekben a betűk változók (individuum- vagy szubjektumváltozók, függvényváltozók, predikátumváltozók) és logikai jelek, illetve különféle egyéb szimbólumok. A betűk egy speciális halmazból vagy halmazrendszerből, az ábécéből kerülhetnek ki.

Az „elsőrendű” kifejezés általában egy szemantikai, de szintaktikus úton definiált tulajdonságra utal; utóbbi definíció pontatlanul a következő: a függvény- és predikátumváltozók formális argumentumai – melyek szintén változók – nem lehetnek maguk is predikátumváltozók. A pontos szemantikai leírás halmazelméleti eszközökkel tehető meg: a nyelv tehet kijelentéseket az általa vizsgált elmélet, „univerzum” elemeiről, de az elemek tetszőleges halmazáról, vagyis az univerzum hatványhalmazának elemeiről már nem.

A betűk egy halmaz, az ábécé különféle jelei lehetnek: például ún. individuumváltozók, fajtajelek, műveleti- / függvény- és relációjelek (vagy függvényváltozók és relációváltozók), konstansjelek – ezeken kívül mindegyik elsőrendű nyelv, ahogyan mindegyik logikai nyelv, tartalmaz legalább két logikai jelet (az egyik egy logikai művelet jele, a másik egy kvantor) és két elválasztójelet (általában a közönséges nyitó- és csukó zárójeleket). A szabályok (szintaxis) megadják, hogy a szimbólumokból hogyan képezzünk olyan sorozatokat, melyeket értelmesnek, azaz a nyelv részeinek tartunk. Ezen szabályokat többféle módszerrel is megfogalmazhatjuk (mi a logikában általánosan használt és legkézenfekvőbbnek tekintett szintaktikus rekurziót alkalmazzuk, de lehetséges halmazelméleti fogalmakra és/vagy generatív nyelvtanokra, Markov-algoritmusokra vagy egyebekre is építeni). Maga a nyelv, mint kifejezéseinek halmaza, a betűkből a szabályok segítségével építhető fel. A betűket és szabályokat együtt a nyelv bázisának nevezzük.

Néha az „elsőrendű” kifejezésen pedig az előző tulajdonsággal szoros kapcsolatban álló, de vele mégsem teljesen ekvivalens, szintén szintaktikai jellegű tulajdonságot értenek, tudniillik azt, hogy a nyelv tartalmaz kvantorokat (tehát több mint nulladrendű), de csak az individuumváltozók a valódi, logikai értelemben vett változók. Azaz csak ezek azok, melyek a nyelv interpretációi által sem egyértelműen meghatározott jelentésűek, vagy ami ezzel szoros kapcsolatban van, csak ezek a kvantifikálható változók; tehát a nyelv még nem másodrendű – mert másodrendű nyelvekben a függvény- és predikátumszimbólumok sem egyértelműen meghatározottak az interpretáció által, hanem kvantifikálhatóak). Az utóbbi két dolog, „interpretációfüggetlenség”/„logikaiság” és kvantifikálhatóság valóban majdnem ugyanaz, hiszen nem-logikai változók kvantifikálása a logikában valóban teljesen értelmetlen/lehetetlen, minthogy ezek egy adott interpretációban konkrét és rögzített jelentést kapnak (lásd az x. példát).

Az elsőrendűség jelentős korlátozást jelent mind a természetes nyelvekhez, a köznyelvhez, de még a matematikában az elméletek leírására általában használt formális nyelvhez képest is. Sok probléma azonban egyszerűbben, ugyanakkor még elegendő részletességgel vizsgálható így is.

Az elsőrendű nyelveknek rendkívüli szerepük volt az egész modern formalista matematika kifejlődése szempontjából (l. az elsőrendű nyelvek történetéről szóló részt). E nyelvek és általában a logikai nyelvek legközvetlenebb haszna a következtetések elméletének precíz matematikai leírása. Ezen kívül az informatikában is fontos szerepet kapnak mint alkalmazások, mivel sok programozási nyelv tulajdonképpen többé-kevésbé egy elsőrendű nyelvnek tekinthető, legalábbis tartalmaz részként ilyen nyelvet.

Bevezetés

Az elsőrendű nyelvek elmélete rengeteg speciális, precízen és formálisan definiált szakkifejezést tartalmaz, melyeknek e szakaszban a szemléletes leírása és motivációi olvashatóak:

Egy logikai nyelvet gyakran valamilyen konkrét dolog vagy elmélet (struktúra) vizsgálatára, modellezésére használunk. Ez egy halmazrendszer, amely az elmélet által vizsgált objektumok halmazából, az univerzumból, és az e fölött értelmezett relációkból, műveletekből, függvényekből áll. A logikai nyelvek kutatásának egy részterülete, a szemantika foglalkozik azzal, hogy hogyan lehet/kell egy adott nyelvet értelmezni, interpretálni. Nézzük, pontosan miből is áll egy struktúra. A matematikai struktúrák tradicionálisan négy-öt fontos dolgot szoktak tartalmazni, melyek megkülönböztetik őket a többi struktúrától: 1). az univerzumot, azaz alaphalmazt; 2). az univerzum feletti különféle fontosabb halmazrendszereket („topológiai struktúra”); 3). fontosabb két- vagy többváltozós (nem egyértelmű) relációit („relációs struktúra”), egyéb 4). Az egyértelmű relációknak annyira kitüntetett szerepük van, hogy ezeket külön szoktuk venni (függvények és/vagy műveletek, „algebrai struktúra”); 5). azon kívül az univerzum bizonyos kitüntetett elemeit („konstansok”). Valójában elegendő lenne csak a relációs struktúra fogalma, mert a struktúra összes többi eleme is reláció, de megszokásból és egyéb okok miatt ragaszkodni szoktunk a fenti tipizáláshoz. Ha megvan a nyelv és az általa leírt, modellezett struktúra, meg kell adni, a nyelv melyik elemének a modell melyik eleme feleljen meg. Matematikailag ez a megadás egy leképezést, függvényt jelent a fontosabb elemek között. Ezt a leképezést vagy leképezésrendszert a nyelv interpretációjának nevezzük, a struktúrát mint az interpretáció eredményét pedig a nyelv modelljének (némileg helytelenül, mivel a „modell” szó értelme szerint inkább a nyelvet kellene a struktúra modelljének nevezni). Egy adott nyelv több különböző „univerzum” vagy „struktúra” leírására is alkalmas lehet, azaz persze többféleképp interpretálható (ennek feltételeit az ún. szintaxis részeként pontosan meg lehet adni (lentebb). A fentieknek megfelelően a nyelv egy struktúra minden fontosabb eleméhez szimbólumokat rendel. Az univerzum elemeinek megnevezésére az individuumváltozók, a relációk megnevezésére a relációjelek vagy predikátumszimbólumok vagy predikátumváltozók, a műveletek/függvények megnevezésére a függvényjelek vagy függvényváltozók, a konstansok megnevezésére a konstansjelek, az univerzum egy adott halmazrendszerének megnevezésére a fajtajelek szolgálnak. Még egy megkülönböztetést kell tennünk; ugyanis a „változó” kifejezést a logikában egy kicsit szűkebb értelemben használjuk, mint a matematikában. A matematikában egy nyelv változója olyan nyelvi szimbólum, mely többféleképp interpretálható. Ebben az értelemben a logikai nyelvek bármely szimbóluma („nem-logikai”) változó. Azonban „logikai (értelemben vett) változónak” csak akkor nevezhetünk egy szimbólumot, ha egy adott, rögzített interpretációban is többféle értéket vehet fel. Ebben az értelemben az elsőrendű nyelvekben csak az individuumjelek számítanak változónak. Vegyük észre, hogy „az interpretáció kivisz minket a nyelvből”: az interpretált szimbólumok már nem részei az adott logikai nyelvnek. E szempontból egy logikai nyelv bármely szimbóluma – az ún. logikai összekötőjeleket leszámítva, melyek halmazát később -lel fogjuk jelölni – értelmetlennek nevezhető (más szempontból azonban nem, hogy ti. a szimbólumok interpretálhatóak, tehát lehet hozzájuk jelentést tulajdonítani – csakhogy a jelentés már kívül van a nyelven). Megjegyzés: a dolog nem mindig jelenti a logikai nyelv kifejezőerejének semmisségét (néhány fontos nyelvben – például a halmazelméletet leíró elsőrendű nyelvben a konstansszimbólumok segítenek ezen). Gyakran előfordul például, hogy úgy választjuk meg őket, hogy a konstans- és függvényszimbólumokból képezett kifejezések segítségével a nyelv által leírt struktúrák univerzumának minden eleme előálljon. Ilyen esetben tulajdonképp a nyelv szavainak interpretálatlanul is értelmet tulajdoníthatunk. Azonban ilyen kitüntetett konstans elemek sok nyelvben nem léteznek (például a háromdimenziós euklideszi geometriát leíró elsőrendű nyelvben a pontok közt nincs kitüntetett), így ez a követelmény nem építhető a matematikai definícióba. Szintaxis: A nyelv szimbólumaiból bizonyos előírások alapján (szintaxis) sorozatokat („jól képzett szavakat”) képezhetünk. Mivel egy interpretáció minden elemnek egy struktúra valamely elemét felelteti meg, ezért egy szimbólumsorozatnak is a struktúra valamely eleme: univerzumelem, vagy függvény, vagy ezekről szóló állítás felel meg. A nyelv szavai különféle szintaktikai és szemantikai osztályokba (termek, formulák, prímformulák, formulamagok stb.) tartozhatnak, azaz különféle előírt alakúak és jelentésűek lehetnek, és elsősorban az ilyesfajta megkülönböztetésekről szól e nyelvek elmélete. Hangsúlyozni kell tehát, hogy az elsőrendű nyelv valójában nem pusztán szimbólumhalmazból álló formális nyelv, hanem van szintaxisa és szemantikája is. Azonban, ahogy az látható is lesz lentebb, ezt a matematikai definícióba – különféle okok miatt – nem minden szerző szokta beleépíteni, ami viszont bizonyos hiányt okoz. Ennek betöltésére két megoldás is elképzelhető: úgy fogjuk fel a dolgot, hogy a szintaktikai és szemantikai előírások megalapozásával nem a logikai nyelvelmélet, hanem egyrészt a filozófia, másrészt, a matematikán és matematikai logikán belül, a kijelentésfüggvények elmélete foglalkozik (ez egy nagyon egyszerű, kombinatorikus jellegű elmélet, a matematikai logikai tankönyveknek mindig az első, bevezető fejezete szokott lenni). a fenti elmélet egy lebutított változatát a nyelv szintaxisa c. fejezetben közöljük. Mi ennek az egésznek az értelme? Az elsőrendű nyelvek, és a matematikai logikai nyelvek általában, abban különböznek a többi formális nyelvtől, illetve az az egyik elsődleges motivációjuk, hogy néhány kitüntetett művelet segítségével a következtetés fogalmának matematikai leírására alkalmasak.

A fogalom pontosabb (vagy, a fentieket is figyelembe véve, inkább formálisabb) leírása lentebb olvasható.

Az elsőrendű nyelvbázis

Valamely ábécé feletti elsőrendű nyelvbázis (teljes nevén többfajtájú elsőrendű logikai nyelvbázis) olyan kéttagú halmazrendszer, ahol különféle fajtájú szimbólumokból álló halmazrendszer, az ábécé; Az Sr, C, F, P, elemei ún. nemlogikai jelek, ezek nyelvről nyelvre változnak; a V, L, Z elemei az ún. logikai jelek, ezek minden elsőrendű nyelvben lényegében ugyanazok. is (kéttagú) halmazrendszer, mely a nyelv „szerkezetét” írja le, s melyet a nyelv(bázis) szintaktikai részének, vagy a nyelv szintaxisának nevezünk. Tagjai: a nyelv(bázis) szignatúrája; ami megadja, az ábécé elemei formálisan hány változósak és a változók milyen fajtájúak – mellesleg a szignatúra maga is egy halmazrendszer (függvényrendszer); pedig valamilyen formában adott formális szabályok halmaza. Ezek precíz formában, formális módszerekkel is megadhatóak, de meg szoktunk elégedni a matematikai szakkifejezésekkel bővített köznyelven való megfogalmazásukkal is, ha ez elvben formálissá tehető.

Az ábécé, mint halmazrendszer összes betűinek halmaza épp . Az ezen ábécé felett elvileg felírható szavakat az utóbbi unióhalmaz elemeiből képezett összes véges sorozattal azonosítjuk, vagyis a ábécé feletti összes szó halmaza legyen . A szintaxis azt adja meg, hogy ez utóbbi halmazból melyek azok a szavak, melyeket értelmesnek, jól képzettnek (well-formed) tekintünk, és hogy kell ezeket jól képezni; míg a szemantika vizsgálja, hogy ha már értelmesek, akkor mi lehet, mi legyen az értelmük.