A szorzatkategória vagy produktumkategória a matematikában, pontosabban a kategóriaelméletben a halmazok Descartes-szorzatának általánosítása kategóriákra. A szorzatkategória fogalma szerepet játszik a bi- illetve multifunktorok definíciójában.
Definíció Legyenek C és D kategóriák. Ekkor a szorzatkategóriát a következő adatok definiálják. A szorzatkategória objektumai párok, ahol A illetve B a C illetve D kategória objektuma. Az és objektumok közötti morfizmusok azon párok, ahol morfizmus C-ben és morfizmus D-ben. A morfizmusok kompozíciója komponensenként történik:
Az identitásmorfizmusok mindkét komponensben identitásból álló morfizmusok: 1(A, B) = (1A, 1B).
Kapcsolat más fogalmakkal Legyenek C és D kis kategóriák, azaz olyan kategóriák, amikben az objektumok illetve morfizmusok halmazt alkotnak. Ekkor a C és D kategóriák fent definiált szorzatkategóriája megegyezik a C és D mint a kategóriák kategóriájának objektumainak szorzatobjektumával.
Azokat a funktorokat, amiknek a célja egy szorzatkategória, bifunktornak nevezik. Bifunktor például a Hom-funktor: egy C kategórián vett Hom-funktor forrása a C oppozit kategóriájának és C-nek a szorzatkategóriája:
Hom : Cop × C → Set.
Többtényezős általánosítás Hasonlóan ahhoz, ahogy a kéttényezős Descartes-szorzat általánosítható több tényezőre, a szorzatkategória definíciója is kiterjeszthető. Az így kapott művelet izomorfizmus erejéig kommutatív és asszociatív; a többtényezős általánosítás nem hoz semmilyen jelentős újítást az elméletbe.
Jegyzetek
Fordítás
Források
Definition 1.6.5 in Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Vol. 1. Cambridge University Press. p. 22. ISBN <bdi>0-521-44178-1</bdi>. Product category in nLab
Kategória:Kategóriaelmélet