Az osztálytestelmélet a matematika, azon belül az algebrai számelmélet egyik részterülete, ami bizonyos testek Abel-bővítéseinek leírásával foglalkozik. (Egy Abel-bővítés olyan Galois-bővítés, aminek a Galois-csoportja Abel-csoport.) A racionális számok esetében az Abel-bővítéseket a Kronecker–Weber-tétel írja le; az osztálytestelmélet egyik motivációja ennek kiterjesztése minden számtestre, azaz a racionális számok véges bővítéseire. Az elmélet részét képezik továbbá bizonyos reciprocitási tételek, amiket a kvadratikus reciprocitási tétel általánosításaiként is fel lehet fogni, bár az előbbi és utóbbi közötti kapcsolat elsőre nem magától értetődő.
A lokális osztálytestelmélet lokális testek Abel-bővítéseit vizsgálja; ebből a lokál-globál elven keresztül lehet eljutni a globális testek bővítéseit leíró globális osztálytestelmélethez. Ez a két eset, tehát a lokális illetve globális elmélet klasszikusnak tekinthető. Az elmélet bizonyos elemei kiterjeszthetők magasabb dimenziós lokális testekre: ez a magasabb osztálytestelmélet. Léteznek továbbá algebrai geometriai megfelelők is, ezekkel a geometriai osztálytestelmélet foglalkozik. Nem feltétlenül Abel-bővítések esetében az elmélet jelentősen bonyolultabbá válik: részben ezzel a kérdéssel foglalkozik a Langlands-elmélet.
Lokális osztálytestelmélet A lokális osztálytestelmélet lokális testek Abel-bővítéseinek leírásával foglalkozik. Két fő tétele a reciprocitási tétel és az egzisztenciatétel. Ezek bizonyítása történhet az adott lokális test Tate-kohomológiájának vizsgálatán vagy a Lubin–Tate formális csoportok elméletén keresztül; ez a két bizonyítási mód egymástól független. A kohomologikus megközelítés előnye az absztrakt tárgyalásmód, a Lubin–Tate-féle megközelítés pedig valamivel explicitebb konstrukciót tesz lehetővé.
Reciprocitási tétel. Ha K egy lokális test, és L/K egy Abel-bővítés, akkor létezik egy
rövid egzakt sorozat, ahol a norma, pedig az úgynevezett norma-maradékszimbólum. A norma-maradékszimbólum funktoriális.
A reciprocitási tétel tehát megad egy izomorfizmust az Abel-bővítés Galois-csoportja és a faktorcsoport között. Ezzel részben leírja a K lokális test Abel-bővítéseit, ugyanakkor nem válaszolja meg azt a kérdést, hogy mely csoportok állnak így elő. Erről szól a következő tétel:
Egzisztenciatétel. Az leképezés egy tartalmazásváltó izomorfizmus a K lokális test Abel-bővítései és a K-beli normacsoportok hálói között. (A normacsoportok a multiplikatív csoport azon részcsoportjai, amelyek alakúak valamely normális bővítésre.) Egy normacsoportot tartalmazó részcsoport is normacsoport, és normacsoportjai pontosan a véges indexű nyílt részcsoportok.
Globális osztálytestelmélet A globális osztálytestelmélet a globális testek Abel-bővítéseit írja le. Az elmélet állításait technikai szempontból természetes a test idèle-eire vonatkozóan megfogalmazni. Emellett létezik az elméletnek egy klasszikus ideálelméleti megfogalmazása is: ez ugyan kevésbé természetes, viszont elemibb tárgyalásmódot tesz lehetővé.
Idèle-elméleti megközelítés Ehhez a tárgyalásmódhoz először szükséges bevezetni az idèle osztálycsoport fogalmát. Ha K egy globális test és v a K egy helye, akkor jelölje Kv a v-nél vett teljessé tételt. Jelölje Uv a Kv egységcsoportját: nemarchimédeszi v esetén ez az értékelésgyűrű egységeinek csoportja, arkhimédeszi v-re pedig . A K test idèlecsoportja a következő: , azaz JK a csoportok megszorított direkt szorzata az csoportokra nézve. A beágyazások indukálnak egy beágyazást; ennek képe a főidèlecsoportja. A CK idèle osztálycsoport az ezzel vett hányadoscsoport, azaz .
Reciprocitási tétel. Ha L/K globális testek egy Abel-bővítése, akkor az
sorozat rövid egzakt, ahol illetve az L illetve K idèle osztálycsoportja. Az norma-maradékszimbólum funktoriális, és érvényes rá a Hasse-elv, azaz egyértelműen megfelel az L/K globális bővítéshez tartozó lokális bővítésekhez rendelt norma-maradékszimbólumok kollekciójának.
Egzisztenciatétel. Az egy tartalmazásváltó izomorfizmus a K globális test Abel-bővítései és a -beli normacsoportok hálói között. Az idèle osztálycsoport normacsoportjai pontosan a véges indexű zárt részcsoportok.
Ideálelméleti megközelítés Ez a megközelítés a számtestek divizorainak fogalmát használja. A K számtest egy divizora egy egész ideál és arkhimédeszi helyek egy négyzetmentes szorzatának formális szorzata, azaz egy szorzat, ahol prímideálok, ei nemnegatív egészek és wj különböző végtelen helyek; az egyes szorzatok akár üresek is lehetnek.
Egy divizor általánosított osztálycsoportja az hányadoscsoport. Itt az -hez relatív prím törtideálok Abel-csoportja, , azaz azon törtideálokból álló részcsoport, amik kongruensek 1-gyel moduló , és pozitív minden valós wj-hez tartozó beágyazás alatt.
Reciprocitási tétel. Ha egy véges Abel-bővítés, akkor létezik a K testnek egy divizora (a minimális ilyen -et a bővítés kondoktorának nevezik), hogy Egy véges vagy végtelen prím akkor és csak akkor ágazik el -ban, ha osztja -et. Ha a K egy divizora és , akkor létezik -nek egy H részcsoportja úgy, hogy és , ahol az izomorfizmust az úgynevezett Artin-leképezés adja meg. Sőt H konkrétan megadható mint .
Egzisztenciatétel. Ha a K egy divizora és H az egy részcsoportja úgy, hogy , akkor egyértelműen létezik egy Abel-bővítés, ami legfeljebb az -et osztó prímekben ágazik el, és .
Magasabb osztálytestelmélet A lokális test fogalma általánosítható a következőképpen. Emlékeztetőül, egy lokális test olyan diszkréten értékelt teljes test, aminek a maradékteste véges. Ezt az 1-dimenziós esetnek tekintve, a fogalom induktív módon általánosítható: egy n-dimenziós lokális test olyan diszkréten értékelt teljes test, aminek a maradékteste egy dimenziós lokális test. (Speciálisan a véges testek tekinthetők nulla dimenziós lokális testnek.)
A magasabb lokális osztálytestelméletben a test multiplikatív csoportjának szerepét az n-edik Milnor K-csoport veszi át. (Ez valóban kiterjeszti az egydimenziós esetet, mert egy test első Milnor K-csoportja a test multiplikatív csoportja.) Megfogalmazható mind a reciprocitási, mind az egzisztenciatétel általánosítása erre az esetre. Az elmélet alapjait egymástól függetlenül Kato és Parsin fektették le az 1970-es években.
Jegyzetek
Források
Kategória:Algebrai számelmélet