thumb|300px|Görbe vonalú, affin és Descartes-féle koordináták A görbe vonalú koordináta-rendszerek az euklideszi tér koordináta-rendszerei, melynek koordinátavonalai diffeomorfak a Descartes-féle koordináta-rendszer koordinátavonalaival.William M. Boothby: An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry. 2. überarbeitete Auflage. Academic Press, 2002. Ez azt jelenti, hogy a megfeleltetés lokálisan egy-egyértelmű, és a megfeleltetés, valamint az inverz megfeleltetés is differenciálható. Tehát nem lehet például szakadás vagy töréspont a koordináta-vonalakon.
A leggyakrabban alkalmazott görbe vonalú koordináta-rendszerek: a Descartes-féle koordináta-rendszer a polárkoordináta-rendszer a hengerkoordináta-rendszer a gömbkoordináták
A szóban forgó feladattól függően egy megfelelően választott görbe vonalú koordináta-rendszerben a számítások egyszerűbbek lehetnek, mint a Descartes-koordináta-rendszerben. Például a sugaras szimmetriájú feladatokhoz célszerűbb lehet a gömbkoordináták választása.
A következők elsősorban a háromdimenziós térre vonatkoztathatók, ám nagy részük általánosítható más dimenziókra is.
A Descartes-koordináták transzformációja Egy -dimenziós tér egy pontjának koordinátái egy valós számokból álló -es, amely a pontot a koordináta-rendszer erejéig határozza meg.
A Descartes-féle koordináta-rendszerben az koordináták felírhatók az új koordináták folytonosan differenciálható függvényeként: , , … Ez egy egyenletrendszer, ami invertálható, tehát megoldható az koordinátákra: , , …
ha az inverz funkcionáldetermináns nem nulla vagy végtelen: . Az inverz transzformációnak is folytonosan differenciálhatónak kell lennie.
A transzformáció reguláris azokban a pontokban, melyeknek egyértelmű a megfeleltetése. A többi pontban szinguláris. Ekkor teljesül, hogy ha egy pont adott az Descartes-koordinátákkal, akkor az inverz transzformációkkal egyértelműen kiszámíthatók a pont görbe vonalú koordinátái. A tér minden reguláris pontja egyértelműen leírható az Descartes-koordinátákkal és ekvivalensen, az görbe vonalú koordinátákkal.
Egy transzformációegyenletekre vonatkozó tétel szerint a fent leírtak alapján a Descartes-féle koordináta-rendszerrel együtt definiálható egy görbe vonalú koordináta-rendszer.
Koordinátavonalak, -felületek és tengelyek thumb|350px|Itt ui helyett qi: koordinátavonalak, -felületek és tengelyek (egy kiválasztott hely bázisvektorai szerint)
Ebben a szakaszban a háromdimenziós térben szemléltetjük a koordinátavonalakat, -felületeket és tengelyeket.
A koordinátafelületek megkaphatók egy koordináta rögzítésével és a többi változtatásával: ahol Minden nem szinguláris ponton át az felületsereg egy tagja halad át.
A koordinátavonalak úgy kaphatók, hogy két koordinátát rögzítünk, azaz ahol , és a harmadik koordináta fut: ahol
A fenti feltétel azt jelenti a funkcionáldetermináns számára, hogy a háromdimenziós tér minden pontján át három koordinátavonalnak kell áthaladnia, különben a pont nem reguláris.
Például a gömbkoordináták esetén a -tengely pontjaiban az összes sík metszi egymást (ahol az azimut). Így a -tengely pontjainak koordinátái nem egyértelműek: , de tetszőleges.
Ha a különböző koordinátavonalak derékszögben metszik egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális.
A koordinátatengelyeket a koordinátavonalak érintőiként definiáljuk. Ez a Descartes-féle koordináta-rendszertől és az affin koordináta-rendszerektől különböző koordináta-rendszerekben azt jelenti, hogy a tengelyek függnek a helytől. Emiatt helyi koordinátákról beszélünk.
Különböző bázisok Egy vektor koordinátákkal való ábrázolásához bázisra van szükség. Ehhez egy -dimenziós térben független vektorra van szükség. Egy ilyen bázissal a tér bármely vektora előállítható lineáris kombinációként, ahol is a kombináció együtthatói a vektor koordinátái.
Csak egyenesvonalú esetben állandóak a bázisvektorok; valóban görbe vonalú koordináta-rendszer esetén a bázis, így a koordináták is függenek a helytől. Emiatt ezeket a bázisokat helyi bázisoknak nevezik. Mind a bázisvektorok, mind a koordináták helyfüggők. Egyenes vonalú koordináta-rendszerekben a bázis globális, azaz nem függ a helytől. A helytől kizárólag a koordináták függnek.
Helyi bázis előállítására két módszer létezik: kovariáns bázis kontravariáns bázis A két bázis reciprok, illetve duális egymással. Holonóm bázisoknak is nevezik őket. Különböznek abban, hogyan transzformálódnak koordinátaváltáskor – a két transzformáció inverze egymásnak.
Az adott sokaság minden pontjában egyidejűleg létezik mindkét bázis. Így egy tetszőleges vektor ábrázolható egyikben vagy másikban. Az kontravariáns koordinátákat kombinálják a kovariáns bázisvektorokkal, és az kovariáns koordinátákat a kontravariáns bázisvektorokkal.
Ez a keresztbe párosítás biztosítja, hogy vektor a koordinátatranszformáció során invariáns maradjon, mivel a bázis és a koordináták inverz módon transzformálódnak, így kölcsönösen kiegyenlítik egymást. A fizikában a vektorok ezen tulajdonsága alapvető, mivel a fizika törvényeinek a koordináta-rendszer választásától függetlennek kell lenniük. Ilyen például egy részecske sebessége.
Egy vektor (koordinátavektor) kontravariáns, ha a koordináták kontravariánsak, és a bázis kovariáns. Egy vektor (koordinátavektor) kovariáns, ha a koordináták kovariánsak, és a bázis kontravariáns. Kovariáns bázis
A kovariáns bázis vektorai minden pontban érintőlegesek valamelyik koordinátavonalhoz. Normált és természetes bázis A koordinátavonalak érintő-egységvektorai bázist alkotnak, ami kovariáns bázisvektorokból áll:
Ezek az egységvektorok a helytől függően fordulnak irányba.
A skálázási tényezők definíciója: , így
A nem normált vektorok alkotják a természetes bázist, amiből a normálással a normált bázis nyerhető. Itt a természetes bázis vektorait jelöli, a normált bázis vektorait pedig .
Kontravariáns koordináták Az új bázisokkal az összes vektor kifejezhető a normált kovariáns bázisban, illetve a természetes bázisban:
ahol illetve kontravariáns koordináták, melyek iránya az -koordinátavonal felé mutat; a normált, a természetes bázisban. A tenzoranalízisben a koordinátákat felső indexszel jelölik. Ez nem hatványozást jelent.
Egy vektorkoordináta hossza megfelel a normált bázisban a koordináta abszolútértékének, a természetes bázisban pedig az koordináta abszolútértékének és a vektorhossz szorzatának:
Ha a vektor fizikai mennyiséget jelöl, akkor a természetes bázis hossza tartalmazhat mértékegységet is, ami így összeszorzódik a koordinátákkal. Ez körülményes lehet. Normált bázis esetén azonban a mértékegység teljes egészében a koordinátán múlik. Ezért az koordináták fizikai koordináták, és a normált bázisvektorok fizikai bázisvektorok.
Megkülönböztetésként az koordináták holonóm koordináták, és a természetes bázisvektorok holonóm bázisvektorok. A bázisvektorok és koordináták viselkedése a transzformáció során, Jacobi-mátrix
A természetes bázisvektorok definíciójából következően az koordináták transzformációja koordinátákká adódik a képlet:
A természetes bázisvektorok egyszerűen viselkednek a transzformáció során. Normált bázis esetén a skálázási tényezőkkel is számolni kell:
Egy tetszőleges vektor kifejezhető mjnd a régi, mind az új bázisban:
Így kapható a koordináták viselkedése a transzformáció során:
Míg a kovariáns vektorok esetén a Jacobi-mátrixszal végezhető, a kontravariáns koordináták transzformációjához a Jacobi-mátrix inverzét kell alkalmazni.
A tenzoranalízisben a vektorok viselkedését a fenti transzformációs viselkedéssel definiálják. Maga a helyvektor nem vektor, de a helyvektor-differenciál már igen.
A Descartes-féle koordináták transzformációjának Jacobi-mátrixa megegyezik azzal a mátrixszal, melyben a természetes bázis oszlopvektorokként szerepel:
Az inverz funkcionáldeterminánsra vonatkozó feltétel a következő kapcsolattal jellemezhető:
Ez megfelel az inhomogén lineáris egyenletrendszernek a -re. A koordinátái tartalmazzák a görbe vonalú bázisvektorok koordinátáit. Az egyenletrendszer csak akkor oldható meg egyértelműen, ha a mátrix magja nulladimenziós, azaz az oszlop- illetve sorvektorok lineárisan függetlenek. Ez ekvivalens azzal, hogy a mátrix determinánsa nullától különbözik. Ez egyértelműen meghatározza az ismeretleneket, azaz minden ponthoz egy, és csak egy bázis létezik.
A duális bázis hasonlóan megfeleltethető a fenti mátrix inverzének.
Metrikus tenzor és Gram-determináns A természetes bázisvektorok skalárszorzatai definiálják a metrikus tenzor komponenseit:
Vegyük észre, hogy a metrikus tenzor a skaláris szorzás kommutativitás miatt szimmetrikus:
Emiatt a metrikus tenzornak független komponense van, és nem . Három dimenzióban a független elemek száma 6.
A metrikus tenzor írható, mint a Jacobi-mátrix és transzponáltjának szorzata:
A mennyiségek metrikus együtthatók, melyek segítségével kiszámítható egy vektor hossza a kontravariáns koordinátákból. Ehhez kellenek a skálázási tényezők.
A skálázási tényezőket a átlós elemek adják meg, mivel :
A metrikus tenzor determinánsa a Gram-determináns:
következménye, hogy a Jacobi-mátrix determinánsa abszolútértékének meg kell egyeznie a Gram-determináns négyzetgyökével. Másként,
,
ahol az előjel a bázis irányításától függ. A normált bázisvektorokból alkotott determináns a multilinearitás miatt adja, hogy:
A metrikus tenzor inverzére teljesül a Cramer-szabály miatt, hogy:
ahol az adjungált és a Gram-determináns. A kifejtési tételből következik, hogy:
és az inverz metrikus tenzorra:
Ortogonális koordináta-rendszerek Ha az -dimenziós térben minden nem szinguláris pontban az koordinátavonal mindegyike merőlegesen metszi egymást, akkor a koordináta-rendszer ortogonális. Ekkor az vektorok az tér ortonormált bázist alkotnak:
, (Kronecker-delta)
A természetes bázisvektorokra:
Így az ortogonális bázisvektorok esetén a metrikus tenzor diagonális:
Az inverz metrikus tenzor ortognális koordináták esetén:
A Gram-determináns is egyszerűbb:
A természetes, illetve normált bázisvektorok esetén a determináns:
Háromdimenziós tér Ha az ortonormált bázis jobbkezes, akkor teljesülnek a következők:
, (: Levi-Civita-szimbólum)
Bővebben:
Egyenes vonalú koordináta-rendszerek Általában a görbe vonalú koordináta-rendszerekben nincs globális bázis, mivel a koordinátavonalak nem egyenesek. Globális bázis csak abban a speciális esetben létezik, hogyha a koordinátavonalak egyenesek. Ekkor a koordinátafelületek síkok, seregeik párhuzamos síkseregeket alkotnak. Ekkor a transzformációs egyenletek így alakulnak:
ahol és konstansok. A Jacobi-mátrix megfelel az transzformációs mátrixnak. Így a természetes egységvektorok alkotják az mátrix -edik oszlopát.
Duális bázis: kontravariáns bázis A kontravariáns bázisvektorok minden pontban merőlegesek a megfelelő koordinátafelületekre. Duálisak a kovariáns bázisvektorokra. Egy vektor kontravariáns komponensei megkaphatók a kontravariáns bázisvektorokra való vetítéssel. Ortogonális koordináták A vektor kontraviariáns koordinátái egy ortonormált bázis számára megkaphatók vetítéssel:
Nem derékszögű koordináta-rendszerekben egy vektor egy kovariáns koordinátája megkapható a vetítéssel a megfelelő kovariáns koordinátára. Ez nem a kontravariáns koordináta, mivel nem teljesül a reláció, azaz a metrikus tenzor nem diagonális. Ehhez szükség van a duális tér és a duális bázis fogalmára. Duális tér és duális bázis Az érintővektorok vektorterének duális tere azokból a lineáris funkcionálokból áll, amelyek a vektorokat az alattuk levő testre képezik le: . A duális tér egy bázisát alkotják a -hez duális bázisvektorok. A duális bázisvektorokat úgy definiálják, hogy .
Definiáljuk továbbá a következő bilineáris formát: . Ez az úgynevezett duális párosítás. Így a duális bázisvektorok hatása a bázisvektorokra:
Véges dimenziós tér esetén izomorf -hez, azaz . Az euklideszi térben (ami skalárszorzattal ellátva) a duális párosítás azonosítható az