Egy lineáris forma a lineáris algebrában egy lineáris leképezés, ami egy vektorteret a skalártestébe képez.
A funkcionálanalízisben topologikus valós vagy komplex vektorterek esetén többnyire folytonos lineáris funkcionálokat tekintenek lineáris formának. Definíció Legyen test, és legyen vektortér fölött. Egy leképezés lineáris forma, ha minden vektorra és skalárra
(additivitás); (homogenitás).
Egy adott vektortér feletti lineáris formák szintén vektorteret alkotnak annak skalárteste fölött, a vektortér duális vektorterét.
Tulajdonságok A lineáris formák általános tulajdonságai: Ahogy a lineáris leképezéseket, úgy a lineáris formákat is meghatározzák az egy bázison felvett értékeik. Vagy triviálisak (azonosan ) vagy szürjektívek. Ha két lineáris formának ugyanaz a magja, akkor egymás skalárszorosai.
A lineáris funkcionálok speciális jellemzői: Pontosan akkor folytonosak, ha magjuk zárt. Abszolútértékük félnorma -n. A lineáris funkcionálok pontosan azok a leképezések, ahol egy vektor és a standard skalárszorzat. Lineáris forma, mint tenzor Egy lineáris forma elsőfokú kovariáns tenzor; emiatt néha 1-formának is nevezik. Az 1-formák a differenciálformák bevezetésének alapját alkotják.
Kapcsolódó fogalmak Ha , és a második feltételt arra cseréljük, hogy , ahol a komplex konjugálás, akkor szemilineáris formához jutunk.
Egy többváltozós leképezés, ami minden változójában lineáris vagy szemilineáris, lehet szeszkvilineáris forma, bilineáris forma vagy multilineáris forma.
Lásd még Forma (algebra)
Források [ http://eom.springer.de/L/l059210.htm Linear form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010]
Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991
Fordítás
Kategória:Lineáris algebra