A lineáris algebrában a kanonikus bázis, úgy is, mint standard vagy természetes bázis egy bázis, melyet egy vektortér bázisai közül annak konstrukciója tüntet ki.
Általában véve egy vektortér bázisa független generátorrendszer, ami a következőket jelenti: A vektortér minden vektora előáll a halmaz vektorainak lineáris kombinációjaként A halmazból csak úgy lehet előállítani a nullvektort, hogy csupa nulla együtthatót használunk. Ezeket az együtthatókat a vektorok koordinátáinak nevezik az adott bázisban.
A vektortereknek van bázisuk, ám nincs feltétlenül a konstrukcióból adódó kitüntetett bázisuk. Például a sík eltolásai vektorteret alkotnak, de egyik bázisa sincs kitüntetve. Megadható egy bázis úgy, mint: a jobbra egy egységgel eltoló eltolás és a felfelé egy egységgel eltoló eltolás, de mivel a jobbra, felfelé és az egység szavak jelentése konvención alapulnak, azért ez nem standard bázis.
Tekintsük a kétszer differenciálható függvényeket, és minden esetén teljesítik az egyenlőséget. Ez egy kétdimenziós valós vektortér, melynek egy bázisa a szinusz- és a koszinuszfüggvényből áll. Ez szintén nem tekinthető természetes bázisnak. Standard terek standard bázisai thumb|Az euklideszi sík standard bázisa Többnyire elsőként vezetik be a standard tereket, ahol . Az terek elemei valós szám--esek. Az bázisai közül kitüntetettek azok, melyekben a vektorok koordinátái megegyeznek az ábrázoló -esek elemeivel. Kitüntetett az a bázis, melynek elemei az vektorok, ahol
Ez standard bázisa. Hasonlók teljesülnek a vektorterekben, ahol tetszőleges test. Ekkor a standard bázisvektorok . Példa Az tér standard bázisa az és vektorokból áll. A bevezetőben említett példák izomorfak az térrel, azonban nincs standard bázisuk. Következtetésképpen nincs kitüntetett izomorfizmus ezen terek és az tér között. Jelölés A standard bázisvektorok elterjedt jelölése . Az tér standard bázisvektorait természettudományi alkalmazásokban gyakran jelöli:
További tulajdonságok Az tér konstrukciójából adódóan további tulajdonságokkal bír. A standard skalárszorzat szerint a standard bázis ortonormált.
Standard bázis mátrixterekben A mátrixok terei vektorteret alkotnak a mátrixok összeadására és a skalárral szorzásra. A standard bázist az mátrixok alkotják, ahol a mátrixokban pontosan egy elem egyezik meg a test egységelemével, a többi elem pedig a test nulleleme. Például a -es mátrixok esetén a standard bázis elemei:
Standard bázis végtelen dimenziós terekben Ha test, és halmaz, akkor elemeinek véges lineáris kombinációi vektorteret alkotnak, ha az együtthatók -beliek. Ekkor bázisa az így definiált vektortérnek, mégpedig standard bázisa.
Alternatívan, a lineáris kombinációk helyett tekinthetjük azokat az leképezéseket, amelyeknél majdnem minden esetén teljesül, hogy . Ha , akkor legyen az az leképezés, amire:
Ekkor az család a vektortér bázisát alkotja, ebben az esetben a standard bázisát.
Amennyiben végtelen, úgy az összes leképezésnek nincs standard bázisa.
A testek fölötti polinomgyűrűk szintén vektorterek, ahol a konstrukció eleve kitüntet egy bázist. Ez az polinomgyűrű esetén az monomokból áll. Források
Kowalsky und Michler: Lineare Algebra, Gruyter, Albrecht Beutelspacher: „Das ist o.B.d.A. trivial!“ 9. aktualisierte Auflage, Vieweg + Teubner, Braunschweig und Wiesbaden 2009, , s. v. „Kanonisch“ Fordítás
Kategória:Lineáris algebra