A matematikában a tangenstér vagy érintőtér a görbék érintőjének és a felületek érintősíkjának általánosítása tetszőleges differenciálható sokaságokra. A fizika területén egy sokaságon mozgó tömegpont egy adott pontban lehetséges sebességeinek vektortereként értelmezhető.
Definíciói Érintőgörbék által Legyen egy differenciálható sokaság, , és pedig differenciálható leképezések, ahol , és . Azt mondjuk, hogy ( és ekvivalens), ha valamilyen körüli térképre
,
tehát ha a 0 pontban vett deriváltjaik megegyeznek. Az pontbeli görbék ezen ekvivalenciarelációja szerinti ekvivalenciaosztályok halmazát az sokaság pontbeli tangensterének nevezzük, jele pedig . Definíció 3.1.
Ha dimenziója , akkor bármely pontbeli érintőtér egy -dimenziós vektortér, ugyanis a
leképezés egy izomorfia. 56–57.o.
Derivációk által Legyen egy sima (tetszőlegesen sokszor differenciálható) sokaság. Egy adott függvény akkor és csak akkor sima, ha bármely térképre a leképezés tetszőlegesen sokszor differenciálható a klasszikus többváltozós differenciálszámítás értelmében. Ezek az sima függvények vektorteret alkotnak, ezt jelölje . Továbbá, a függvények pontbeli szorzásának és a függvények skalárral való szorzásának műveleteivel kiegészülve asszociatív algebrát alkot. 32–33.o.
A deriváció a deriválást, mint lineáris operátort hivatott általánosítani. Pontosabban, egy pontba vett deriváció olyan lineáris leképezés, amely teljesíti a szorzatszabályt: .
A definícióból következik, hogy bármely konstans függvényre teljesül.
Jelölje az összes pontban értelmezett deriváció halmazát. Ha a derivációk összegét és szorzatát a következőképpen definiáljuk:
, ,
akkor ezekkel a műveletekkel kiegészülve egy vektorteret alkot, amelyet az sokaság pontbeli tangensterének hívunk. Definition 2.4.12
Kotangensterek által A tangenstér kotangenstér általi definíciója absztrakt, azonban könnyen általánosítja a tangenstér fogalmát algebrai varietásokra.
Legyen sima sokaság és . Olyan sima függvények, amelyekre teljesül, egy ideálját alkotják. Ezt az ideált jelölje , továbbá legyen az ideál. melyet az -beli elemek páronkénti szorzatai generálnak. Az faktortér izomorf duális terével, tehát a sokaság -beli kotangensterével, így a tangenstér definiálható duális tereként.
A definíciók ekvivalenciája A tangenstér érintőgörbék általi és derivációk általi definíciójának ekvivalenciája bizonyítható úgy, ha találunk egy lineáris izomorfiát és között. Legyen , , ahol . Bizonyítható, hogy egy deriváció, továbbá a leképezés egy lineáris izomorfia, tehát . Theorem 2.4.13 Ebből az ekvivalenciából következik, hogy a érintővektor hatása egy leképezésre egy egyedi iránymenti deriváltat definiál pontban.
A kotangensterek általi és derivációk általi definíciók ekvivalenciájára utaltunk az előző szakaszban. Pontosabban, ha , akkor bármely -re, tehát egy lineáris leképezést alkot és a valós számok halmaza között. Továbbá, ha egy lineáris leképezés, akkor a egy -beli deriváció. Ebből következik, hogy . A továbbiakban, a jelölés egyszerűsítése végett az sokaság -beli tangensterét fogja jelölni, definíciótól függetlenül.
Tulajdonságai Bázisa és bázistranszformációi Mivel egy dimenziós sima sokaság adott pontbeli érintőtere egy dimenziós vektortér, ezért létezik bázisa. Legyen sima sokaság, térkép körül. Ekkor tetszőleges bázisát a következőképp jelöljük:
,
és a következőképp definiáljuk: bármely függvényre és bármely -re
.
Máshogy kifejezve, a egy olyan deriváció, amely az -edik parciális deriváltját képezi egy adott függvénynek az környezetében által meghatározott koordináta-rendszerben. A bázisvektorokat ebből kifolyólag a koordináta-rendszerhez rendelt -beli koordinátavektoroknak hívjuk. Például, a standard -koordináták esetén az -edik koordináta szerinti parciális deriválás operatora. 60.o.
Egy vektortér elemei felírhatók a báziselemekkel vett lineáris kombinációként, pontosabban bármely kifejezhető a következőképp:
,
ahol az érintővektor -edik komponensét jelöli.
Ha és két körüli térkép, akkor felmerül a kérdés, hogy az és által alkotott lokális koordináta-rendszerek hogyan viszonyulnak egymáshoz. A leképezés differenciáljának kiszámításával és a bázisvektorok definíciójának segítségével a következő összefüggést lehet levezetni: 64–65.o.
.
Az azonosságot egy tetszőleges vektorra alkalmazva a transzformációt követő, -vel jelölt komponensei is leírhatók:
Az ilyen módon transzformáló vektorokat általánosabban kontravariáns vektoroknak hívják.
Szorzatsokaság tangenstere Legyenek és sima sokaságok, akkor a Descartes-szorzat is egy sima sokaság, melynek a pontbeli érintőtere izomorf és direkt összegével, jelölés szerint
.
Ez az izomorfia általánosítható tetszőleges mennyiségű sima sokaság Descartes-szorzatára. Proposition 3.14
Tangensnyaláb A tangenstér segítségével általánosítható a differenciálhatóság fogalma sokaságokon értelmezett függvényekre, azonban például differenciálegyenletek megoldásainak vizsgálatához hasznos olyan leképezésekre kibővíteni a differenciálhatóság fogalmát, amelyek a sokaságból nem számokat, hanem (érintő)vektorokat képez le. Ehhez szükség van egy sokaság minden pontbeli tangensterének egybeillesztésére, ezt hívjuk tangensnyalábnak.
Definíció szerint egy adott sima sokaság tangensnyalábja a vektorterek diszjunkt uniója, jelölés szerint Definition 2.5.1
Egy dimenziós sima sokaság tangensnyalábja egy dimenziós sima sokaság. Proposition 3.18.
Jegyzetek
Források
Fordítás
Kategória:Differenciálgeometria