A matematikai logika a matematika egyik fejezete, a matematikai rendszereket, a matematikai bizonyításokat matematikai módszerekkel vizsgálja. A matematikai logika célja a helyes következtetési sémák, helyes definíciók vizsgálata, beleértve a matematikai logika által alkalmazott következtetési sémákat, szabályokat, definíciókat is.
A matematikai logika korábban a szimbolikus logika részét képezte, abból fejlődött ki azáltal, hogy a szimbolikus logika formális módszereit kezdte alkalmazni a matematikai következtetések és bizonyítások vizsgálatára.
Története
Kezdetben a logikát a filozófia részének tekintették, azonban a tizenkilencedik század végén, „a szigorúság forradalma” korában az algebra és az analízis fejlődésével párhuzamosan a logika matematizálásának gondolata is megjelent. Az első matematikai logikai rendszereket George Boole, Schröder, Peirce és mások alkották meg. Ezek a korai rendszerek mind a szimbolikus logika képviselői voltak, elszakadván az „iskolás logika” mint nyelvi jelenség vizsgálatától; leginkább az algebra fogalmaival és rendszereivel rokonítható elméletek voltak.
Azonban a paradoxonok felfedezése a naiv halmazelméletben kiváltotta a struktúraosztályok további axiomatizálásának az igényét és ezzel párhuzamosan annak vizsgálatát, hogy mit tekinthetünk helyes definíciónak, illetve helyes következtetésnek. Ehhez a bizonyítások formalizálására volt szükség, illetve arra, hogy minden bizonyításról belássuk, megfelelnek egy adott formalizmusnak, leírhatók egy adott formális nyelven. A Boole-Schröder-formalizmus kevéssé volt alkalmas e célra, mivel elsősorban a zárt mondatok (nulladrendű formulák) kezelésére alkották meg.
A továbblépés feladatát, illetve ezen túlmenően az így formalizált állítások ellentmondásmentességének a bizonyítását számos matematikus (és filozófus) tűzte ki célul a századfordulón, így pl. Giuseppe Peano, Gottlob Frege, David Hilbert; 1910–1913 között Bertrand Russell és Whitehead a Hilbert által kitűzött célok többségét megvalósították, eltekintve az ellentmondásmentesség bizonyításától – nem sokkal később Gödel bebizonyította, hogy az ellentmondásmentesség bizonyítása az így létrehozott formalizmus keretein belül nem is lehetséges.
Irodalom
További információk Varga Tamás: Matematikai logika I-II, Tankönyvkiadó, 1966 Ruzsa Imre, Pólos László, Madarász Tiborné: A logika elemei, Osiris Kiadó, 2005, Csirmaz László, Hajnal András: Matematikai logika egyetemi jegyzet, ELTE Bp., 1994 (Postscript változat) Komjáth Péter, Matematikai logika (tanárszakos jegyzet) Ferenczi Miklós, Matematikai logika, Műszaki Kiadó, 2014 (második kiadás) Encyclopaedia of Mathematics, Mathematical logic Mathematical Logic around the world
Kapcsolódó szócikkek Ítéletlogika Modellelmélet Formális nyelv Elsőrendű nyelv