Az Erdős–Mordell-tétel a következő geometriai egyenlőtlenség:
Ha az háromszög belsejében levő pont távolsága a csúcsoktól , az oldalaktól , akkor .
Ezt Erdős Pál sejtette meg, első bizonyítását a Középiskolai Matematikai Lapokban publikálta Louis Mordell.
Bizonyítás Területekkel
Legyenek ABC oldalai a, b, c. A következő állítást használjuk fel a bizonyításhoz:
Ez egyenértékű az
egyenlőtlenséggel, ami nyilván igaz, mert a jobb oldal az AB oldalhoz tartozó magasság. Tükrözzük P pontot az ACB szögfelezőjére, képére alkalmazva a segédállítást: . Hasonlóan adódik, hogy és . Ezeket a megfelelő oldalakkal leosztva:
.
A kapott három egyenlőtlenség összege pedig . Mivel pozitív szám és reciprokának összege legalább 2 a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt, ezért készen vagyunk. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha ABC szabályos háromszög és P a középpontja.
Vetületekkel
Legyen az köré írható kör, és a háromszög egy belső pontja. Legyen a merőleges vetülete , stb., és hasonlóan pedig a kört -ban érintő egyenesre. Ekkor
Források
Megjegyzések
Erdos-Mordell tetel Erdos-Mordell tetel Kategória:Matematikai tételek Kategória:Erdős Pál