A trigonometrikus azonosságok szögfüggvények között fennálló matematikai összefüggések (egyenlőségek, azonosságok). Ezek az azonosságok hasznosak szögfüggvényeket tartalmazó kifejezések egyszerűbb alakra hozásakor. Egyéb függvények integrálásakor is alkalmazzák őket, amikor bizonyos kifejezéseket trigonometrikus kifejezésekkel helyettesítünk, majd a kapott integrált trigonometrikus azonosságokkal egyszerűsítjük.
300px|jobbra|bélyegkép|Egy szög (θ) minden trigonometriai függvénye megszerkeszthető az origó középpontú egységkör segítségével.
Jelölések Az alábbi jelöléseket használjuk a hat szögfüggvényre:
szinusz (sin), koszinusz (cos), tangens (tg), kotangens (ctg), szekáns (sec) és koszekáns (csc). Egyszerűség kedvéért csak a szinusz esetét mutatja az alábbi táblázat.
Jelölések Olvasd Leírás Definíció sin²(<var>x<var>) „szinusz négyzet <var>x<var>” a szinusz négyzete; szinusz a második hatványon sin²(x) = (sin(<var>x<var>))² arcsin(<var>x<var>) „arkuszszinusz x” a szinusz inverz függvénye arcsin(<var>x<var>) = y akkor és csak akkor, ha sin(<var>y<var>) = <var>x<var> és (sin(x))‒1 „szinusz x a (-1)-edik hatványon” a szinusz reciproka; (sin(x))‒1 = 1 / sin(x) = csc(x)
arcsin(x) így is írható: sin−1(x); ezt nem szabad összetéveszteni a (sin(x))‒1-nel.
Definíciók
További részletekről lásd trigonometrikus függvények.
Periodicitás, szimmetria és eltolás Az egységsugarú körből egyszerű belátni:
Periodicitás
A szinusz, koszinusz, szekáns, és koszekáns függvények 2π (egy teljes kör) szerint periodikusak: ha tetszőleges egész szám akkor
A tangens- és kotangensfüggvények π szerint periodikusak: ha tetszőleges egész szám, akkor
Szimmetria
Eltolás
Eltolás π/2 és π szöggel:
Lineáris kombináció Néhány esetben fontos tudni, hogy ugyanolyan periódusú, de különböző fázisban lévő szinusz hullámok lineáris kombinációja szintén ugyanolyan periódusú, de más fázisszögű szinusz hullámot ad. Szinusz és koszinusz hullámok lineáris kombinációjakor ez írható:
ahol
Általánosabban tetszőleges fázisszögre írható:
ahol
és
Pitagoraszi azonosságok
Ezek az azonosságok a Pitagorasz-tételen alapulnak.
A második egyenlőség az elsőből úgy kapható, ha mindkét oldalt osztjuk cos2(x)-szel. A harmadik egyenlőséghez az elsőt sin2(x)-szel kell osztani.
Szögek összegének és különbségének szögfüggvényei
Két (vagy több) szög (ill. argumentum) összegének és különbségének trigonometrikus függvényei kifejezhetőek az argumentumok szögfüggvényeinek bizonyos (általában racionális egész-, vagy, a tangens és kotangens esetében, racionális tört-) kifejezéseiként, ezek az addíciós azonosságok. Lehet őket már elemi geometriai úton is igazolni, de a teljesen szigorú igazolás ez esetben kissé nehézkes, mert több eset szétválasztását igényli (ettől eltekintve azonban egyszerű, mert csak a hasonlóság definíciójának és esetleg a polinomiális tétel speciális eseteinek ismeretére - azaz elég alapfokú geometriai és algebrai jártasságra - van szükség). Igazolni lehet az addíciós képleteiket a differenciálegyenletes definíciókra hagyatkozva, vagy az Euler-formulával is, bár ezek igazolása mélyebb matematikai ismereteket igényel.
(Ha "+" szerepel a bal oldalon, akkor "+" van a jobb oldalon is,és fordítva.)
(Ha "+" szerepel a bal oldalon, akkor "-" van a jobb oldalon, és fordítva.)
A bizonyítások lehetségesek a skaláris szorzat, annak tulajdonságai, és egyszerűbb trigonometrikus összefüggések felhasználásával is:
Vegyünk fel egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszert az euklideszi síkon és két egység hosszú vektort, melyekhez tartozó origó középpontú helyvektoroknak az x-tengely pozitív felével bezárt forgásszögeinek ívmértékei x és y. Írjuk fel ennek a két vektornak a skaláris szorzatát egyrészt a definíció alapján (a vektorok abszolút értékeinek és a bezárt szögük koszinuszának a szorzata), másrészt a koordinátáikkal (az első és a második koordináták szorzatainak az összege) Ügyeljünk arra, hogy több eset lehetséges x, y és a 0 egymáshoz viszonyított értékeinek függvényében. Ebből kapjuk a két szám különbségének koszinuszára vonatkozó azonosságot. Ezután ebből x+y = x-(-y), a pótszögek ívmértékeinek szögfüggvényei közötti összefüggések, illetve a tangens és kotangens szögfüggvények definícióinak felhasználásával kapjuk a többi azonosságot.
Részletes bizonyítást olvashatunk (bár csak az x>y>0 esetre vonatkozóan) a Hajnal-Számadó-Békéssy: Matematika a gimnáziumok 11. évfolyama számára című tankönyv 90-91. oldalain (Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005).
Kétszeres szög szögfüggvényei Az alábbiakat le lehet vezetni úgy, hogy az összegképletben x = y helyettesítést végzünk és felhasználjuk a Pitagorasz-tételt. Vagy felírjuk a de Moivre-formulát n = 2 esetre:
A kétszeres szög-képletek segítségével pitagoraszi számhármasokat is találhatunk. Ha (a, b, c) egy derékszögű háromszög oldalai, akkor (a2 ‒ b2, 2ab, c2) szintén derékszögű háromszöget alkot, ahol B az a szög, melyet megdupláztunk. Ha a2 ‒ b2 negatív, vegyük ellenkező előjellel és 2B helyett használjuk a 2B-t -re kiegészítő szöget.
Háromszoros szög szögfüggvényei
Többszörös szög szögfüggvényei
A többszörös szög tangense és kotangense a következő rekurzióval vezethető vissza az egyszeres szög tangensére:
Ha Tn az nik Csebisev-polinom, akkor
Ha Sn az n-ik kiterjesztett polinom, akkor
A de Moivre-formula:
Hatványcsökkentő képletek Ha a kétszeres szög koszinusza harmadik egyenletét cos2(x) illetve sin2(x)-re megoldjuk, írható
Fél-szög képletek Ha az előző képletekbe x helyére x/2-t helyettesítünk, akkor cos(x/2)-re és sin(x/2)-re megoldva a következőt kapjuk:
Hasonlóan írható:
Ha bevezetjük az alábbi jelölést:
akkor és és és
Szögfüggvények szorzatát összevonássá alakító képletek
Az alábbi képletek helyessége ellenőrizhető a jobb oldalakba a szögek összegének szögfüggvényeit helyettesítve:
Ptolemaiosz tétele
(Az első három egyenlet triviális, a negyedik a Ptolemaiosz-tétel alkalmazása a trigonometriára)
Összeget szorzattá alakító képletek
Helyettesítsünk x helyére (x + y) / 2-t és y helyére (x – y) / 2-t a szorzat-összeg képletbe:
Ha x, y és z egy tetszőleges háromszög szögei, vagy más szóval
Ha az x, y, z szögek valamelyike derékszög, akkor mindkét oldalt végtelennek kell tekinteni. Ez nem +∞ vagy -∞; itt több értelme van egy végtelen pontot hozzávenni a valós számegyeneshez, amit a tangensfüggvény akár a pozitív értékeken át nőve, akár a negatív értékeken át csökkenve elérhet. Ez a valós egyenes egypontos kompaktifikációja.
Más összegező képletek Szinusz és koszinusz számtani sorozat szerinti argumentummal:
Bármely a és b esetén:
ahol arc tg(y, x) az arc tg(y/x) általánosítása, mely lefedi a teljes kört.
A fenti azonosságot jó tudni, ha a Guderman-függvényre gondolunk.
Ha , akkor
Inverz szögfüggvények
Szögfüggvények konvertálása Minden szöggfüggvény kifejezhető közvetlenül bármely más szögfüggvénnyel. Ezek az összefüggések az inverz szögfüggvényekkel fejezhetők ki: legyen φ és ψ két szögfüggvény és legyen arcψ a ψ szögfüggvény inverze, ekkor írható: ψ(arcψ(x)) = x. Ezután a φ(arcψ(x)) kifejezhető x algebrai képletével. Ilyen képletek láthatók az alábbi táblázatban: φ a sorok első eleme lehet, ψ pedig az oszlopok első eleme.
Figyelem: A táblázatban minden oszlop (és nem sor) bemenő értéke egy szög hat szögfüggvénye.
A tg, a ctg, a sec és a csc függvények értékei csak akkor számíthatók a táblázat alapján, ha az adott szögre értelmesek.
{| class="wikitable" |+ Konverziós képletek táblázata ! φ \ ψ! sin ! cos ! tg ! csc ! sec ! ctg |- ! sin
! cos
! tg
! csc
! sec
! ctg
A táblázat függvénykompozíciók átalakítására is alkalmas. Adva legyen a φ és a ψ függvény, mivel egyenlő φ(arcψ(x))?
A számítás módja: Találjunk egy egyenletet, ami kapcsolatot teremt φ(u) és ψ(u) között.
Legyen , így
Oldjuk meg ezt az egyenletet φ(arcψ(x))-re.
Példa: Mivel egyenlő ctg(arccsc(x))?
Először kapcsolatot kell találnunk a ctg és a csc között.
Másodszor végezzük el a következő helyettesítést: u = arccsc(x)
,
Harmadszor oldjuk meg az egyenletet ctg(arccsc(x))-re:
és ez az a képlet, ami a táblázat hatodik sorában és negyedik oszlopában van.
Végtelen összegek szinusza és koszinusza
Ezekben az azonosságokban megjelenik az az aszimmetria, ami a véges összegekben nincs meg: minden szorzatban véges sok szinuszos tényező van, és ko-véges koszinuszos.
Ha csak véges sok tag nem nulla, akkor a jobb oldalon is csak véges sok tag lesz nullától különböző, ugyanis a szinuszos tényezők eltűnnek, és a koszinuszos tényezők véges kivétellel mind eggyel lesznek egyenlők.
Véges összeg tangense Legyen ek k-adfokú elemi szimmetrikus polinom , aminek változói xi = tg(θi ), ahol i = 1, ..., n, k = 0, ..., n. Ekkor
ahol a tagok száma n-től függ.
Például
Az általános eset teljes indukcióval bizonyítható.
Véges összeg szekánsa
ahol ek k-adfokú elemi szimmetrikus polinom az xi = tan θi, i = 1, ..., n, változókkal. A nevezőben levő tagok száma n-től függ.
Például
Trigonometrikus függvények végtelen szorzatba fejtése A speciális függvényekhez kapcsolódóan hasznosak lehetnek ezek a végtelen szorzatok:
Didaktika és a cis függvény Néhány könyvben találkozni lehet a
jelöléssel, ahol a cis a "cos + i sin" függvény rövidítése. Ez valójában az eix függvény. Azért vezetik be ezt az ideiglenes jelölést, mert akkor kerül szóba, mielőtt még bebizonyítanák, hogy ez egy komplex exponenciális függvény.
A valós számok fölött értelmezett trigonometrikus függvények körében bizonyíthatók a következő azonosságok:
Hasonlóan, a komplex számokon bevezetve a szorzást megfigyelhető a trigonometria alkalmazása nélkül is:
c1 + is1 és c2 + is2 szorzatának valós és képzetes része rendre
Ezek a hasonlóságok motiválják a két terület összekapcsolását és a trigonometrikus azonosság bizonyítását:
ami egyszerűbb, mint a szinusz és a koszinusz összegzési képlete. Belátva ezt az azonosságot feltehető a kérdés, hogy mely függvények elégítik ki a
függvényegyenletet. Egy kis ellenőrzéssel belátható, hogy az exponenciális függvények ilyenek. Ez azt sugallja, hogy a cis függvény is exponenciális függvény, azaz felírható
alakban egy b-re. Létezik-e ilyen b, és ha igen, akkor mivel egyenlő?
A cis függvény definíciója és a szinusz, koszinusz viselkedése a nulla közelében azt mutatja, hogy
azaz a cis függvény megváltozása a nulla közelében i, így az exponenciális függvény alapja ei. Tehát ha a cis függvény exponenciális függvény, akkor
Kapcsolat a komplex exponenciális függvénnyel (Euler-formula),
ahol i2 = ‒1.
A Gudermann-függvény A Gudermann-függvény anélkül teremt kapcsolatot a trigonometrikus és a hiperbolikus függvények között, hogy a komplex számokra hivatkozna.Definíció:' a Gudermann-függvényt így értelmezik:
Teljesülnek a következő azonosságok:
A Gudermann-függvény inverze:
A Gudermann-függvény és inverzének deriváltjai:
Nevezetes szögek Az érdekes
azonosság a következő egy változót tartalmazó azonosság speciális esete:
Hasonló a
A következő azonosság talán nem is általánosítható:
A szögeket célszerűbb a következő azonosságban radiánban mérni:
Az 1, 2, 4, 5, 8, és a 10 tiszta mintát mutat: ezek azok a 21/2-nél kisebb egész számok, amelyek relatív prímek 21-hez. A legutóbbi példa a felbonthatatlan körosztási polinomokhoz kapcsolódnak: a koszinuszok valós részei a körosztási polinomok gyökeinek. A gyökök összege egyenlő a Möbius-függvény 21-ben vett helyettesítési értékével. Az előtte levő két példa 21 helyett 10-zel és 15-tel kapható.
A pí szám kiszámításának egy John Machin által talált hatékony módja:
vagy az Euler-formulával:
A φ aranymetszési számmal:
Geometriai bizonyítások Ezek a bizonyítások közvetlenül csak hegyesszögekre alkalmazhatók, de az azonosságok minden szögre teljesülnek. Így a legtöbb trigonometriai azonosság levezethető elemi geometriai úton, bár a definíciókat és az elgondolásokat ki kell terjeszteni.
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
Fájl:sinesum.png