bélyegkép|A szögfelező szerkesztése körzővel és vonalzóval A szögfelező a szöget két egyenlő szögre osztja. A szögfelező minden pontja azonos távolságra van a szög száraitól és átmegy a szög csúcsán.
A konvex szögtartományban a két szögszártól azonos távolságra lévő pontok egy félegyenest alkotnak. A szögtartományon kívül e félegyenes meghosszabbítását szoktuk a szögfelezőnek tekinteni, de a félegyenesen kívül is vannak pontok, melyek a szögszáraktól, mint félegyenesektől azonos távolságra vannak.
Egyenesek által alkotott szögnél a két egyenestől azonos távolságra lévő pontok két egyenest alkotnak, melyek merőlegesek egymásra.
Az analitikai geometriában és az analízisben a síknegyedek szögfelezői fontos szerephez jutnak. Az I. és a III. síknegyeden átmenő az első, a másik a második szögfelező.
A szintetikus geometriában a metsző egyenesek szögfelezőit szimmetriatengelyekként definiálják. A szögfelező létezése axióma, ami egy szabadon mozgatható preeuklidészi síkot jellemez.
A szögfelező szerkesztése jobbra|300px|Szögfelező szerkesztése körzővel és vonalzóval Egy szög szögfelezőjét meg lehet szerkeszteni körzővel és vonalzóval a következő módon: olyan kört rajzolunk, melynek középpontja a szög csúcsa. A körvonal a szög mindkét szárát elmetszi. Rajzoljunk két azonos sugarú kört, melyeknek a középpontja a két metszéspont. A két kör két metszéspontja meghatározza a szöget felező egyenest.
Ez a szerkesztési mód kihasználja, hogy a szögfelező felezi annak az egyenlő szárú háromszögnek az alapját, melyet a szög csúcsa és az első kör által kimetszett pontok határoznak meg.
Metsző egyenesek négy szöget és négy szögfelezőt határoznak meg. Azonban mivel két-két szög csúcsszögpárt alkot, a négy szögfelezőből kettő-kettő egybeesik. Ezek az egymásra merőleges szögfelezők a két egyenes szögfelezői.
A szögfelező azoknak a pontoknak a mértani helye, amelyek mindkét egyenestől egyenlő távolságra vannak. Ez azt jelenti, hogy egy pont akkor és csak akkor fekszik a szögfelezőn, ha mindkét szögszártól egyenlő távolságra van.
A háromszög szögfelezői bélyegkép|A háromszög belső- (piros) és külső (zöld) szögfelezői, beírt köre (kék) és hozzáírt körei (sárga) Belső szögfelezők és háromszög beírt köre A háromszög belső szögfelezői azok az egyenesek, melyek a háromszög belső szögeit elfelezik. Ezeknek az egyeneseknek minden pontja azonos távolságra van a háromszög két-két oldalegyenesétől, mivel szögfelezők.
A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ezt beláthatjuk a következőképpen: Az csúcson és a csúcson átmenő szögfelezők metszéspontja egyenlő távol van a és oldalegyenestől (mivel az csúcson átmenő szögfelező pontja) valamint a és oldalegyenesektől is (mivel a csúcson átmenő szögfelezőnek is pontja). Tehát mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van, így -tól és -től is, ezért rajta van a -n átmenő szögfelezőn.
A belső szögfelezők metszéspontja mindhárom oldaltól azonos távolságra van, ezért ez a pont a háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja. A kör sugara a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz.
A háromszögnek például a szögfelezőjének háromszögbe eső szakaszának hosszára teljesül, hogy
Ha mindhárom oldal adva van:
A szögfelezők a szemben fekvő oldalak felezőmerőlegeseit a háromszög körülírt körén metszik egymást, amennyiben a háromszög nem egyenlő szárú.
A szögfelezők talppontjai, azaz a háromszög szemben fekvő oldalegyenesével vett metszéspontjainak baricentrikus koordinátái:
A szögfelezőtétel (Apollóniosz tétele)
bélyegkép|balra|Ábra a szögfelezőtétel bizonyításához A háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja, vagyis .
Bizonyítás:
Meghosszabbítjuk a háromszög oldalát -n túl -val, így kapjuk meg -t. egyenlő szárú háromszög, ennek a csúcsnál lévő külső szöge , az alapon fekvő szögei nagyságúak. Az háromszög oldala és a szögfelező által bezárt szög egyállású a háromszög csúcsnál levő szögével, mivel a két szög azonos nagyságú és az egyik száruk egy egyenesbe esik. Ezért a szögek másik szára – a szögfelező és a oldal – is párhuzamosak egymással. Az csúcsnál lévő szögre a párhuzamos szelők tételét alkalmazva kapjuk az egyenlőséget.
Külső szögfelezők és a háromszög hozzáírt körei A háromszög külső szögeit megfelezve a külső szögfelezőket kapjuk. A szögfelező minden pontja egyenlő távol van a háromszög két oldalegyenesétől. Két-két szögfelező egy pontban metszi egymást. A metszéspont a hozzáírható kör középpontja, mivel mindhárom oldalegyenestől egyenlő távol van.
A háromszög egy csúcsból húzott belső és külső szögfelezője merőleges egymásra.
A külső szögfelezők metszéspontjai a háromszög szemben fekvő oldalegyenesével egy egyenesre illeszkednek, ha léteznek. Négyszög szögfelezői Az általános négyszög szögfelezői húrnégyszöget határoznak meg, és csak érintőnégyszögek esetén találkoznak egy pontban. Húrnégyszögek esetén a szögfelezők által meghatározott négyszög ortodiagonális, azaz átlói merőlegesek. Paralelogrammák esetén téglalapot kapunk, téglalap esetén négyzetet, húrtrapéz esetén deltoidot. Ha a négyszög szemben fekvő szögei egyenlőek, akkor az így kapott négyszög húrtrapéz. Egyenletek Adva legyen a két egyenes az egyenletekkel, ekkor a szögfelezők egyenlete:
mivel a szögfelezők azoknak a pontoknak a mértani helye, melyek a szög száraitól egyenlő távolságra fekszenek. Koordináta-rendszer szögfelezői Egy Descartes-féle koordináta-rendszerben a koordinátatengelyek szögfelezői külön szerephez jutnak: Az első szögfelező az egyenletű egyenes, ami az I. és a III. síknegyedben fut. Meredeksége 1. A második szögfelező az egyenletű egyenes, ami a II. és a IV. síknegyedben fut. Meredeksége -1. Általánosítások Többszöri felezéssel egy szög felosztható , , vagy általában egybevágó részre. Például részre osztáshoz a műveletet 4-szer kell elvégezni. Általában, ha az egyenlő részek száma a 2 egész kitevős hatványa, akkor a szükséges felosztások számát a 2-es alapú logaritmus adja meg.
Ez az eljárás általánosítható: Ha adva van egy szög, akkor belőle megszerkeszthetők a szögek, ahol és természetes számok. Ebben segít, ha az számot kettes számrendszerben írjuk fel; ekkor a vessző után bit következik. Például ha egy szög részét szeretnénk megkapni, akkor tekintjük az kettes számrendszerbeli alakját: Innen . Tehát a szög -a szerkeszthető úgy, hogy megfelezzük a szöget, majd megfelezzük az egyik szögtartományt, így megkapva a szög részét. Ebből még elvesszük a szög részét, melyet a másik irányban végzett újabb felezéssel tehetünk meg.
Teljesül a következő tétel: Ha adva van az szög, és a , természetes számok, akkor az szög pontosan akkor szerkeszthető körzővel és vonalzóval, ha a kettő egy hatványa. Bármely más természetes szám esetén ez nem lehetséges.Stephen Buckley, Desmond MacHale, Department of Mathematics, University College, Cork: Dividing an angle into equal parts
Az i. e. 5. századból ismert probléma, a szögharmadolás nem oldható meg körzővel és vonalzóval. Csak közelítő szerkesztések lehetségesek. Szintetikus geometria Egy preeuklidészi sík a szintetikus geometriában egy 2-től különböző karakterisztikájú test fölötti affin sík, mely izotróp egyenes nélküli ortogonalitással van ellátva az egyenesekre vonatkozóan. Egy ilyen geometriában tengelyes tükrözések definiálhatók.
A következő állítást szögfelező-axiómának nevezik: Ha egyenesek, akkor van egy harmadik egyenes úgy, hogy a tengelyű tükrözés az egyenest a egyenesre képezi le.
Ha különböző párhuzamos egyenesek, akkor középpárhuzamosuk teljesíti ezt a feltételt. Mivel egy preeuklidészi síkon mindig létezik középpárhuzamos, a lényegi követelmény a metsző egyenesekre vonatkozik, azaz a szögfelező létezését követeli meg. Egy szögfelező létezéséből közvetlenül adódik a másik, rá merőleges szögfelező létezése is.
A szögfelező-axiómát teljesítő preeuklidészi síkot szabadon mozgathatónak nevezik.
Jegyzetek
Források Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 185, 206, 359. oldal. Matematikai kisenciklopédia. Szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal. Friedrich Bachmann: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. 2. Auflage. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1973, . Zusammenfassung: Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. Mathematische Annalen, Bd. 123, 1951, S. 341ff. Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie, Teubner, Stuttgart, 1976,
Fordítás
Kategória:Háromszögek Kategória:Euklideszi geometria