bélyegkép|jobbra|200px|Az izogonális pont megszerkesztése. Az izogonális pont, Fermat-pont vagy Torricelli-pont a geometriában az a pont, amit egy háromszög csúcsaival összekötve az összekötő szakaszok együttes hossza minimális. Fermat fedezte fel, aki feladványul adta Evangelista Torricellinek a pont megszerkesztését a Maxima et minima című írásában.
Torricelli 1646-ban három elemi megoldást talált, melyeket tanítványával, Vincenzo Vivianival közösen 1659-ben tett közzé.
Az egyik megoldás tartalmazta a pont szerkesztését is. Emeljünk egyenlő oldalú háromszögeket a háromszög oldalaira! Ekkor ezeknek a háromszögeknek a körülírt körei egy pontban, az izogonális pontban találkoznak.
1647-ben Thomas Simpson azt a megoldást adta, hogy az izogonális pontban találkozik az a három egyenes, ami átmegy a három egyenlő oldalú háromszög külső csúcsán és az eredeti háromszög szemben fekvő csúcsán. Ezek az egyenesek a Simpson-egyenesek. Az izogonális pont megszerkesztése
Ha a háromszögnek nincs 120°-nál nagyobb szöge, az izogonális pont egyben az a pont, amiből a háromszög mindhárom oldala azonos szög alatt látszik. (Ha van, a hozzá tartozó csúcs lesz az izogonális pont.) Megszerkesztéséhez egy-egy szabályos háromszöget kell emelni a háromszög oldalaira, és az újonnan kapott csúcsokat összekötni az eredeti háromszög szemközti csúcsaival. A három egyenes az izogonális pontban metszi egymást. (Ugyanebben a pontban metszik egymást a szabályos háromszögek köréírt körei is; Torricelli ezt használta fel a megoldásához.) Egyenlő oldalú háromszögben egybeesik a beírt kör középpontjával. Áthalad rajta a Kiepert-hiperbola.
Szerkesztés bizonyítása
bélyegkép|balra|280px|Ábra a bizonyításhoz.
A bizonyítás megmutatja, hogy a három egyenes egy ponton halad át.
Legyen F az RC és BQ egyenesek metszéspontja. Azt akarjuk megmutatni, hogy az AFP görbe egyenes.
Mivel AR=AB és AC=AQ,
. Továbbá, mivel és º, amik belső szögei a szabályos háromszögeknek, . Ebből következik, hogy RAC és BAQ háromszögek egybevágóak. Vagyis és . Tehát ARBF és AQCF húrnégyszög. Mivel húrnégyszögek, º. BFCP szintén húrnégyszög, hiszen º. Ennélfogva º. Tehát º. Az izogonális tulajdonság Tétel: Egy háromszög Fermat-pontjából a háromszög minden oldala 120 fok alatt látszik.
Bizonyítás: a matematikai optimalizálást, a Lagrange-szorzókat és a koszinusztételt használja.
A háromszög belsejében felvett pontot összekötjük a háromszög csúcsaival, és rendre X-nek, Y-nak, és Z-nek nevezzük ezeket a szakaszokat. Jelölje ezeknek a hosszát rendre x, y, z. Az X és Y által bezárt hegyesszög legyen α, az Y és a Z által bezárt szög β; ekkor az X és a Z szakasz szöge (2π − α − β). A Lagrange-szorzók módszerével a minimum:
x + y + z + λ1 (x2 + y2 − 2xy cos(α) − a2) + λ2 (y2 + z2 − 2yz cos(β) − b2) + λ3 (z2 + x2 − 2zx cos(α + β) − c2) .
ahol a, b és c a háromszög oldalainak hossza.
A parciális deriváltakat kiszámítva:
δ/δx: 1 + λ1(2x − 2y cos(α)) + λ3(2x − 2z cos(α + β)) = 0
δ/δy: 1 + λ1(2y − 2x cos(α)) + λ2(2y − 2z cos(β)) = 0
δ/δz: 1 + λ2(2z − 2y cos(β)) + λ3(2z − 2x cos(α + β)) = 0
δ/δα: λ1y sin(α) + λ3z sin(α + β) = 0
δ/δβ: λ2y sin(β) + λ3x sin(α + β) = 0
Némi számolással adódik, hogy:
sin(α) = sin(β)
sin(α + β) = −sin(β)
vagyis: α = β = 120o Tulajdonságok A szerkesztésben felhasznált szabályos háromszögek körülírt körei a Fermat-pontban metszik egymást Trilineáris koordinátái: csc(A + π/3) : csc(B + π/3) : csc(C + π/3), vagy ekvivalensen, sec(A − π/6) : sec(B − π/6) : sec(C − π/6).Entry X(13) in the Encyclopedia of Triangle Centers Baricentrikus koordinátái: a·csc(A + π/3) : b·csc(B + π/3) : c·csc(C + π/3) Alkalmazása A gazdasági matematikában alkalmazzák telephely létesítési helyének kiválasztására. Három cég létesít egy központi raktárat úgy, hogy a szállítási költségek a lehető legkisebbek legyenek. A legkedvezőbb hely az Fermat-pont, amennyiben a cégek központjait egy háromszög csúcsaiként fogjuk fel.
Második Fermat-pont Ha egy háromszögben nincs 60 fokos szög, akkor a második Fermat-pontra teljesül, hogy: és
A második Fermat-pont az (első) Fermat-ponthoz hasonlóan szerkeszthető, kivéve, hogy a szabályos háromszögeket a háromszög belseje felé mérjük fel. Az első Fermat-ponthoz hasonló tulajdonságokkal bír, kivéve, hogy innen a háromszög egy oldala 120 fok, két oldala 60 fok alól látszik.
Trilineáris koordinátái: csc(A − π/3) : csc(B − π/3) : csc(C − π/3), vagy ekvivalensen, sec(A + π/6) : sec(B + π/6) : sec(C + π/6).Entry X(14) in the Encyclopedia of Triangle Centers
Trilineáris koordinátái: a·csc(A − π/3) : b·csc(B − π/3) : c·csc(C − π/3) Tulajdonságok Az Fermat-pontnak nincs az a minimumtulajdonsága, mint az Fermat-pontnak. A minimumtulajdonság csak akkor teljesül, ha az Fermat-pont egybeesik a háromszög egyik csúcsával. Ha az háromszögnek van 60 fokos szöge, akkor a Fermat-pont a szög csúcsa. Ha az eredeti háromszög egyenlő oldalú, akkor megegyezik az oldalaira emelt háromszögekkel, tehát és Emiatt az és pontok bármelyike lehet Fermat-pont. Az Fermat-ponton áthalad a Kiepert-hiperbola. Bizonyítás A következő bizonyítás a vektorok és a skalárszorzat tulajdonságain alapul az euklideszi térben. Első lemma thumb|hochkant=1.25| A feltétel geometriailag azt jelenti, hogy a skálázott vektorok egy 1 oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszöget képeznek, melynek külső szögei megfelelnek a vektorok által közrezárt szögeknek. Egyenlő oldalú háromszögben: A belső szögek (zölddel) -osak, a külső szögek (pirossal) -osak
Minden vektorra
ami ekvivalens azzal, hogy rendre 120 fokos szöget zárnak be. Az első lemma bizonyítása def9iniáljuk az egységvektorokat úgy, hogy
és legyen az egységvektorok által közrezárt szög. Ekkor például , tehát . A többi pontpárra hasonlóan belátható a megfelelő összefüggés. Így kapjuk -t, és
Így kapjuk, hogy . Megfordítva, ha az egységvektorok 120°-os szöget zárnak be egymással, akkor
Emiatt Második lemma és bizonyítása Minden és vektorra
Bizonyítás: A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség egyenlőtlenségből következik minden vektorra, hogy helyettesítéssel. Tétel bizonyítása Ha egy háromszög belső szögei 120°-nál kisebbek, akkor szerkeszthető az pont a háromszög belsejében. Legyenek ehhez
Ha Fermat-pont, akkor definíció szerint így az első lemmából kapjuk az egyenlőséget.
A második lemmából következik, hogy
Az első lemma egyenlőségéből és ezekből az egyenlőtlenségekből következik, hogy
Ez teljesül az euklideszi sík minden pontjára. Ezzel breláttuk, hogy ha X = , akkor minimális. Hoffmann bizonyítása thumb|240px||Az első Fermat-pont Hofmann-féle bizonyítása, töröttvonal thumb|240px||Az első Fermat-pont Hofmann-féle bizonyítása, a lehetséges legrövidebb útvonal, Lásd az animációt A következő bizonyítás Joseph Ehrenfried Hofmann 1929-ben megjelent német nyelvű cikkéből származik.H.S. Coxeter: Unvergängliche Geometrie, Dreiecke. Springer Basel, 1981, , S. 38 Google A bizonyítás abban az esetben működik, ha az háromszög belső szögei 120°-nál kisebbek.
Az alapötlet az, hogy az háromszögben elforgatunk egy pontot az körül. Az : függvényekre teljesül, hogy Ha az háromszög csúcsa körül -kal forgatunk, akkor és
Mivel , egyenlő oldalú háromszögek, és a fedett és háromszögek is egyenlő oldalúak, következik, hogy
Szavakkal: a három távolság összege, ami megegyezik az törtvonal hosszával. Ez ugyanolyan hosszú, mint a pontot az háromszög csúcsaival összekötő szakaszok hossza.
A érték akkor a legkisebb, ha az és pontok egy egyenesre esnek, ebbők adódóan és mivel vagy az háromszög körülírt körén fekszik, a Kerületi és középponti szögek tételéből következően, ahol a középponti szög . Emiatt
illetve
Ha helyére -et helyettesítünk, akkor belátjuk, hogy (1)
Jegyzetek
Források Joseph Ehrenfried Hofmann: Elementare Lösung einer Minimumsaufgabe. In: Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht. Band 60, 1929, S. 22–23. Harold Scott MacDonald Coxeter: Unvergängliche Geometrie. (= Wissenschaft und Kultur. Band 17). Birkhäuser, Basel/Stuttgart 1963, S. 39–39. Hans Schupp: Elementargeometrie (= Uni-Taschenbücher. 669 Mathematik). Schöningh, Paderborn 1977, , S. 79–82. Hans Schupp: Figuren und Abbildungen (= Studium und Lehre Mathematik). Franzbecker, Hildesheim 1998, , S. 54–55.
Kategória:Háromszögek