A lineáris altér a matematika, közelebbről a lineáris algebra egyik fontos fogalma. Egy vektortér, mint struktúra bizonyos tulajdonságokkal ellátott részhalmazára akkor mondjuk, hogy lineáris altér a vektortérben, ha teljesíti az ugyanazon vektor- illetve skalárral való szorzás műveleti zártságának követelményét; azaz a másik altérben definiált összeadás és szorzás nem vezet ki belőle.
Minden lineáris altér generálható a kiindulási tér néhány lineárisan független vektorával. Két altér összege és metszete szintén lineáris altér, melyek dimenziója a dimenzióképlettel számítható. Minden lineáris altérnek van kiegészítő altere, mellyel vett direkt összege a kiindulási vektorteret adja. Minden altérhez rendelhető faktortér, ami úgy keletkezik, hogy az eredeti tér vektorait az altér mentén párhuzamosan vetítjük.
A lineáris algebrában az altereket arra használják, hogy jellemezzék lineáris leképezések mag- és képterét, lineáris egyenletek megoldáshalmazát és sajátértékproblémák sajáttereit. A funkcionálanalízisben Hilbert-terek, Banach-terek altereit és duális tereket vizsgálnak. Az alterek sokoldalú alkalmazásokkal bírnak, mint például nagy lineáris és differenciál-egyenletrendszerek numerikus megoldása, optimalizálásban, kódoláselméletben és jelfeldolgozásban.
Definíció
Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V.
Tulajdonságok
Tétel Egy F test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha és
Bizonyítás Ha W altér, akkor 1. és 2. feltételek teljesülnek, mivel ezek pontosan azt jelentik, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek. Megfordítva, csak azt kell igazolni, hogy W-ben létezik nullelem és minden elemnek létezik inverze. Legyen v ∈ W tetszőleges, 2. miatt 0 = 0v ∈ W nullelem, és -v = (-1)v ∈ W inverz. Tehát W az összeadásra csoportot alkot, így részcsoport V-ben, tehát W is Abel-csoport. Ezzel W is vektortér. W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével.
Példák Konkrét példák thumb|Az alakú vektorok, melyekre teljesül, alteret alkotnak az euklideszi síkban A tér vektortér a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra. Legyen továbbá azoknak az vektoroknak a halmaza, melyekre igaz, hogy ! Ekkor altere a vektortérnek, mivel minden esetén:
benne van -ban,
Egy további példaként tekintsük az fölött definiált valós függvények vektorterét! Ez a szokásos összeadással és skalárral szorzással vektorteret alkot. Ebben a vektortérben a lineáris függvények alteret alkotnak, hiszen minden esetén:
az nullfüggvény benne van , így , tehát
Általánosabb példák bármely vektortérben triviális alterek: az egész tér, és csak a 0 vektorból álló altér, a valós számok, mint valós számok fölötti vektortérben az összes altér az egész tér és csak a 0 vektorból álló altér, a valós számok fölötti komplex vektortérben a valós számok halmaza és a tisztán képzetes számok halmaza, alterek; az euklideszi sík vektortérben az origón átmenő egyenesek alterek, az euklideszi tér vektortérben az origón átmenő egyenesek és síkok alterek, a háromdimenziós -ban kétdimenziós altér egy tetszőleges origón keresztülhaladó sík, bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak, tetszőleges lineáris transzformáció magtere és képtere altér az adott vektortérben, a polinomok vektorterében a legfeljebb -adfokú polinomok vektorteret alkotnak bármely rögzített természetes számra, a négyzetes mátrixok vektorterében a szimmetrikus és az antiszimmetrikus mátrixok alterek, az egy adott intervallumon értelmezett valós értékű függvények vektorterében az integrálható függvények, a folytonos függvények és a differenciálható függvények alterek, két, ugyanazon test fölötti vektortér közötti leképezések vektorterében a lineáris leképezések alteret alkotnak.
Generált altér thumb|Egy vektor lineáris burka az euklideszi síkban
Az a1, ..., an ∈ V vektorok által generált altéren az ai vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük, és ezt〈a1, ..., an〉-nel jelöljük,
Általában, egy V vektortér tetszőleges, véges vagy végtelen, A nemüres részhalmaza által generált〈A〉altéren, a részhalmaz vektoraival minden lehetséges módon képzett összes, véges, de tetszőlegesen hosszú, lineáris kombinációt értjük. Néha ezt a halmazt lineáris buroknak is nevezik. Igazolható a következő állítás is
Tétel U =〈a1, …, an〉az ai vektorokat tartalmazó legszűkebb altér V-ben, azaz
Megfordítva, minden altérhez található generátorrendszer, vagyis egy halmaz, ami generálja az alteret. Egy minimális generátorrendszer lineárisan független elemekből áll, és bázisnak nevezik. Egy bázis számossága megadja a vektortér dimenzióját.
Műveletek alterekkel Metszet és unió Legyenek alterek ugyanabban a vektortérben! Ekkor az
halmaz szintén altér a vektortérben. Ellenben a két vektortér uniója:
akkor és csak akkor altér, ha vagy . Különben bár egy skalárral szorzásra zárt halmazt kapunk, melyből kivezet a vektorok összeadása. Két altér által generált altér
Ha W és Z alterek a V vektortérben, akkor a W és Z által generált altérnek a
alteret nevezzük. Ez ugyanaz az altér, amit a két vektortér, mint halmaz uniója generál. Ha a W és Z alterek dimenziója véges, akkor a generált altér dimenziója kiszámítható a dimenziótétellel:
,
amiből visszafelé olvasva a metszet altér dimenziója is kiszámítható. Véges dimenziós vektorterek metszet- és összegbázisa kiszámítható a Zassenhaus-algoritmussal.
Ha W ∩ Z = 0, akkor a〈W,Z〉alteret a W és Z (belső) direkt összegének nevezzük, és a következőképpen
jelöljük. (A belső direkt összeg izomorf a külső direkt összeggel.)
A jóldefiniáltságot az adja, hogy a〈W,Z〉altér elemeinek w+z alakban történő felírása, w ∈ W, z ∈ Z, akkor és csak akkor egyértelmű, ha W ∩ Z = 0, ugyanis Ha W ∩ Z = 0, és egy a ∈〈W,Z〉vektorra fennáll a
egyenlőség, akkor átrendezés után kapjuk, hogy w1 – w2 = z1 – z2. Ez utóbbi bal oldalán W-beli, jobb oldalán Z-beli vektor áll, így szükségképpen w1=w2, z1=z2. Megfordítva, tegyük fel, hogy x ≠ 0 ∈ W ∩ Z-nek. Ekkor x = x + 0 = 0 + x két különböző előállítást ad, ez ellentmondás, tehát W ∩ Z = 0.
Mivel W ∩ Z = 0, azért a dimenziótétel a következő alakra egyszerűsödik:
,
ami a végtelen dimenziós esetekre is igaz. Több operandus A fenti műveletek általánosíthatók több operandusra. Legyen a vektortér altereinek egy családja, ahol tetszőleges indexhalmaz! Ekkor
szintén altér a vektortérben. Több altér összege
ahol csak véges sok tag különbözhet a csak nullvektorból álló altértől. Ha minden egyes altér metszete a többi altér összegével a nullvektorból álló vektortér, akkor az összeg direkt, jelölése
Ez ekvivalens azzal, hogy az összeg vektortér minden vektora egyértelműen előáll az egyes tag vektorterek elemeinek összegeként. Származtatott terek Kiegészítő altér Legyen vektortér! Ekkor minden alteréhez van altér, amelyre igaz, hogy
Ekkor az komplementer tere. Minden komplementer térhez tartozik egy vetítés az altérre, azaz egy idempotens lineáris leképezés, melyre teljesül, hogy
ahol az identitás. Általában egy altérhez több komplementer tér is tartozik, melyek közül a vektortér struktúra egyet sem tüntet ki. Ha a térben van skalárszorzat, akkor vannak ortogonális alterek. Ha véges dimenziós, akkor minden alteréhez van egy ortogonális komplementer tere, és megfelel annak, hogy
.
Ez az altér az altér ortogonális komplementere. Faktortér Ha vektortér, akkor minden alteréhez hozzárendelhető egy faktortér. A faktortér úgy keletkezik, hogy a vektortér elemeit párhuzamosan levetítjük az altér mentén. Formálisan, a faktorteret az
a ekvivalenciaosztályainak halmaza. Egy vektor a
mellékosztály.
A mellékosztályok tehát az altér párhuzamos eltoltjai, és ezek alkotják a faktorteret, ami azonban izomorf az altér menti vetítéssel kapott altérrel. A mellékosztályokon reprezentánsok segítségével végezhetők műveletek, habár a faktortér nem altere a vektortérnek. A faktortér dimenziója a
képlettel számítható.
A faktortér alterei pontosan a faktorterek, ahol aletere -nek úgy, hogy . Duális tér, annihilátor Legyen vektortér a test fölött! Ekkor duális terét a -ből -ba menő lineáris leképezések alkotják. Ha részhalmaza -nek, akkor annihilátorát azok a fukcionálok alkotják, melyek eltűnnek az halmazon. Ez egy altér a duális térben. Vagyis,
.
Ha véges dimenziós, akkor egy alterének annihilátor terének dimenziója számítható a
képlet alapján.
Tehát egy altér duális tere izomorf a faktortérrel. A lineáris algebrában Lineáris leképezések Ha egy lineáris leképezés az azonos test fölötti és vektorterek között, akkor a leképezés magja
altér -ben, a leképezés képtere
pedig altér -ben. Továbbá, egy lineáris leképezés grafikonja altér a direkt szorzat vektortérben. Ha a altér véges dimenziós, akkor a szóban forgó terekre teljesül a rangtétel:
.
A kép dimenzióját rangnak, a mag dimenzióját pedig defektusnak nevezzük. A homomorfiatétel szerint a kép izomorf a faktortérrel. Lineáris egyenletek Ha lineáris leképezés az azonos test fölötti és vektorterek között, akkor a
lineáris egyenletrendszer altér -ben, és éppen magja. Egy inhomogén lineáris egyenletrendszer,
, ahol
megoldása affin-lineáris altere -nek, ami a szuperpozíciós tulajdonság következménye. A megoldástér dimenziója megegyezik magjának dimenziójával. Sajátértékprobléma Ha egy lineáris teret önmagába képező lineáris leképezés, tehát endomorfizmus, akkor a hozzá tartozó sajátértékprobléma
,
ekkor a sajátértékhez tartozó sajátaltér
altere -nek, melynek nullvektortól különböző elemei a sajátértékhez tartozó sajátvektorok. A sajátaltér dimenziója a sajátérték geometriai multiplicitása, ami nem feltétlenül egyezik az algebrai multiplicitással, de annál sosem nagyobb. Invariáns alterek Ha endomerfizmus, akkor egy altere -invariáns, ha
vagyis esetén a képvektor szintén -beli. Az altér szerinti képe altér -ban. A és triviális alterek, , és minden sajáttere invariáns -re. További fontos példák invariáns alterekre a főterek, melyek a Jordan-normálak meghatározására használatosak. A funkcionálanalízisben Hilbert-terekben Hilbert-terekben, azaz teljes skalárszorzatos terekben többnyire alhilbertterekkel foglalkoznak, melyek amellett, hogy mint vektorterek alterek, még a skalárszorzatra is teljesek. Ez egyet jelent azzal, hogy az altér zárt a normából származó topológiára, melyet a skalárszorzat indukál. Egy Hilbert-tér nem minden altere teljes is, azonban lezárással mindig teljes teret kapunk, amiben azz altér sűrű. A vetítési tétel szerint létezik minden alhilberttérhez egy egyértelmű ortogonális komplementer, ami még zárt is.
Az alhilbertterek fontos szerepet játszanak a kvantummechanikában, illetve jelek Fourier-, és multiskála-analízisben. Banach-terek Banach-terekben, azaz teljes normált terekben tekinthetők az albanachterek, melyek zártak a norma leszűkítésére. Az albanachterek szintén zártak. A Banach-terek minden alteréhez van egy teljes lezárt, melyben az altér sűrű. Szemben a Hilbert-terekkel, az albanachterekhez nincs mindig komplementer albanachtér.
Teljes félnormált terekben a nulla félnormájú vektorok alvektorteret alkotnak. A félnormával ellátott térből faktortér képzésével normált tér kapható, ha azonosnak tekintjük azokat a vektorokat, melyek félnormája megegyezik. Ha a félnormával ellátott tér teljes, akkor ez a faktortér Banach-tér.
A parciális differenciálegyenlet-rendszerek végeselem-módszerrel végzett numerikus megoldása során a megoldást a Szoboljev-tér alkalmas véges dimenziós albanachtereiben közelítik. Topologikus duális terek