Az impedancia jelentése váltakozó áramú ellenállás. Váltakozó áramú elektromos hálózatban egy fogyasztó komplex impedanciájának nevezzük a komplex feszültség és a komplex áramerősség hányadosát, jele Z. Képlettel:
A komplex impedancia abszolút értékét látszólagos ellenállásnak nevezzük, jele Z. A látszólagos ellenállás mértékegysége az ohm.
A komplex impedancia értelmezése bélyegkép|A komplex feszültség és a komplex áramerősség (t = 0) A komplex impedancia a definíció alapján . A képletekben U0 és I0 a feszültség, illetve az áramerősség csúcsértéke; ω a körfrekvencia; t az idő; α és β a feszültség, illetve az áramerősség fázisszöge; φ a fáziskülönbség a feszültség és áramerősség között. Az i az imaginárius egység (képzetes egység), az e az Euler-féle szám.
A látszólagos ellenállás bélyegkép|A komplex impedancia Mivel a látszólagos ellenállás a definícióból adódóan a komplex impedancia abszolút értéke, ezért . Olyan váltakozó feszültségnél, amelynél az effektív értékek egyenesen arányosak a csúcsértékekkel (pl. a szinuszos váltakozó feszültségnél), a látszólagos ellenállás az effektív feszültség és az effektív áramerősség hányadosaként is kiszámítható: . A látszólagos ellenállás segítségével a komplex impedancia: .
A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás bélyegkép|A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás A komplex impedancia (mint bármely komplex mennyiség) valós és képzetes részre bontható. Valós része a hatásos ellenállás (rezisztencia), jele Rh; képzetes része a meddő ellenállás (reaktancia), jele X. Képlettel: . A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás kifejezhető a látszólagos ellenállás, illetve a fáziskülönbség segítségével: . A fordított irányú összefüggések a látszólagos ellenállás, illetve a fáziskülönbség tangensének kiszámítására: . A hatásos ellenállásra és a meddő ellenállásra felírt összefüggések alapján a komplex impedancia: .
Egyes eszközök impedanciája Ohmos ellenállás impedanciája Egy fogyasztót ohmos ellenállásnak nevezünk, ha egyenáramra vagy szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva a fogyasztón átfolyó áram erőssége egyenesen arányos a feszültséggel. Ha egy R ellenállású ohmos ellenállást szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolunk, akkor a komplex impedancia: . bélyegkép|Az ohmos ellenállás impedanciája A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás a komplex impedancia valós, illetve képzetes része alapján határozható meg. Eszerint az ohmos ellenállás hatásos ellenállása megegyeszik az egyenáramú ellenállásával , meddő ellenállása (reaktanciája) pedig nulla: . A feszültség és áramerősség azonos fázisban van egymással, azaz . Mindezek alapján az ohmos ellenállás komplex impedanciája: . Eszerint az ohmos ellenállás látszólagos ellenállása nem függ a frekvenciától.
Ideális tekercs impedanciája Egy tekercset ideális tekercsnek nevezünk, ha ohmos (és kapacitív) ellenállása elhanyagolható, így szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva az áramerősséget csak az önindukció befolyásolja. Egy L önindukciós tényezőjű ideális tekercsnél Kirchhoff huroktörvénye miatt: , azaz . Ha a komplex áramerősség , akkor az előzőek miatt a komplex feszültség , bélyegkép|Ideális tekercs impedanciája bélyegkép|Egy ideális tekercs látszólagos ellenállása a frekvencia függvényében Ezek alapján a komplex impedancia: . A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás a komplex impedancia valós, illetve képzetes része alapján határozható meg. Eszerint az ideális tekercs hatásos ellenállása nulla , meddő ellenállása (reaktanciája) pedig . Az ideális tekercsnél az áramerősség 90°-ot késik a feszültséghez képest, azaz . Az ideális tekercs látszólagos ellenállása: . Eszerint az ideális tekercs látszólagos ellenállása egyenesen arányos a váltakozó feszültség körfrekvenciájával, illetve frekvenciájával.
Az impedanciára kapott összefüggés jobb oldalát i-vel szorozva és osztva a komplex impedancia
alakban is felírható.
Ideális kondenzátor impedanciája Egy kondenzátort ideális kondenzátornak nevezünk, ha ohmos (és induktív) ellenállása elhanyagolható, így szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva az áramerősséget csak a kapacitása befolyásolja. Egy C kapacitású ideális kondenzátort szinuszos váltakozó feszültségre kapcsolva a komplex feszültség: . Az áramerősség megegyezik a töltés idő szerinti deriváltjával, ezért a Q = C⋅U összefüggést felhasználva . A fentiek alapján komplex áramerősség: . bélyegkép|Ideális kondenzátor impedanciája bélyegkép|Egy kondenzátor látszólagos ellenállása a frekvencia függvényében Ezek alapján a komplex impedancia: . A hatásos ellenállás és a meddő ellenállás a komplex impedancia valós, illetve képzetes része alapján határozható meg. Eszerint az ideális kondenzátor hatásos ellenállása nulla , meddő ellenállása (reaktanciája) pedig . Az ideális kondenzátornál az áramerősség 90°-ot siet a feszültséghez képest, azaz . Mindezek alapján az ideális kondenzátor látszólagos ellenállása: . Eszerint az ideális kondenzátor látszólagos ellenállása fordítottan arányos a váltakozó feszültség körfrekvenciájával, illetve frekvenciájával.
Komplex impedanciájú fogyasztókból álló kapcsolások Az előzőkben felírt
összefüggések szerint a komplex impedancia és a látszólagos ellenállás a váltakozó áramú hálózatokban hasonló szerepet tölt be, mint az egyenáramú hálózatokban az ellenállás. Igazolható, hogy az egyenáramú hálózatokra vonatkozó Ohm-törvény valamint a Kirchhoff-törvények, illetve az ezekből levezethető összefüggések átvihetők a (szinuszos) váltakozó áramú hálózatokra. bélyegkép|Impedanciák összegzése soros RLC-körben Például a Z1, Z2, ... komplex impedanciájú fogyasztók soros, illetve párhuzamos kapcsolása esetén az eredő Z komplex impedanciára teljesülnek a
összefüggések.
A párhuzamos kapcsolásra vonatkozó képlet két fogyasztó esetén felírható
formában is.
Soros RL-kör impedanciája bélyegkép|Soros RL-kör Ha egy ohmos ellenállást és egy ideális tekercset sorosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia: . Ebből a látszólagos ellenállás, illetve a fázisszög tangense: ,
. Mivel a valóságban a tekercset alkotó vezetéknek mindig van valamekkora ellenállása, egy valóságos tekercs egy ohmos ellenállás és egy ideális tekercs soros kapcsolásának tekinthető. A fenti összefüggés szerint a tekercs látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától: nagyobb frekvenciákon nagyobb a látszólagos ellenállás.
Ha a tekercset alkotó vezeték egyenáramú ellenállása elég kicsi, és a tekercs öninduktivitása elég nagy, akkor . Emiatt az előzőleg kapott összefüggésekben az R elhanyagolható, így
és . Eszerint egy tekercs annál inkább ideális tekercsként viselkedik, minél kisebb az egyenáramú ellenállása és minél nagyobb az öninduktivitása.
Párhuzamos RC-kör impedanciája bélyegkép|Párhuzamos RC-kör Ha egy ohmos ellenállást és egy ideális kondenzátort párhuzamosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia reciproka: . Ennek abszolút értéke a valós és képzetes rész alapján számítható ki:
Ebből a látszólagos ellenállás:
A fázisszög tangensének kiszámításához szükség van a komplex impedanciára: . Ebből a hatásos ellenállás és a meddő ellenállás: . Ezek alapján a fázisszög:
Mivel a valóságban a kondenzátor fegyverzetei közti szigetelőnek mindig van valamekkora vezetőképessége, egy valóságos kondenzátor egy ohmos ellenállás és egy ideális kondenzátor párhuzamos kapcsolásának tekinthető. A fenti összefüggés szerint a kondenzátor látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától: nagyobb frekvenciákon kisebb a látszólagos ellenállás.
Ha a fegyverzetek közti szigetelő egyenáramú ellenállása és a kondenzátor kapacitása elég nagy, akkor . Ebben az esetben az előzőleg kapott összefüggések:
és . Eszerint egy kondenzátor annál inkább ideális kondenzátorként viselkedik, minél nagyobb az egyenáramú ellenállása és a kapacitása.
Párhuzamos LC-kör impedanciája bélyegkép|Párhuzamos LC-kör Ha egy ideális tekercset és egy ideális kondenzátort párhuzamosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia reciproka:
Ennek alapján az impedancia:
Ebből a párhuzamos LC-kör hatásos ellenállása és a meddő ellenállása:
A párhuzamos LC-kör látszólagos ellenállása:
Eszerint a párhuzamos LC-kör látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától. Az összefüggés azonban most viszonylag bonyolult. Az azonban könnyen belátható, hogy a látszólagos ellenállás végtelen naggyá válik annál az ω0 körfrekvenciánál, amelynél az
feltétel teljesül. Ebből a feltételből ez az ω0 körfrekvencia, illetve a hozzá tartozó f0 frekvencia:
Ezt az f0 frekvenciát a párhuzamos LC-kör sajátfrekvenciájának, vagy rezonanciafrekvenciájának nevezzük.
Mivel a hatásos ellenállás nulla, a fázisszög most nem értelmezhető a meddő ellenállás és a hatásos ellenállás hányadosa alapján. A komplex impedanciára vonatkozó képlet alapján azonban megállapítható, hogy
Soros RLC-kör impedanciája Ha egy ohmos ellenállást, egy ideális tekercset és egy ideális kondenzátort sorosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia: bélyegkép|left|Soros RLC-kör impedanciája bélyegkép|Soros RLC-kör
Ebből a látszólagos ellenállás, illetve a fázisszög tangense:
bélyegkép|Egy soros RLC-kör látszólagos ellenállása a frekvencia függvényeként A látszólagos ellenállásra vonatkozó fenti képlet alapján látható, hogy a soros RLC-kör látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától. Az összefüggés azonban most viszonylag bonyolult. Az azonban könnyen belátható, hogy a látszólagos ellenállásnak minimuma van annál az ω0 körfrekvenciánál, amelynél az
feltétel teljesül. Ebből a feltételből ez az ω0 körfrekvencia, illetve a hozzá tartozó f0 frekvencia:
Ezt az f0 frekvenciát a soros LC-kör sajátfrekvenciájának, vagy rezonanciafrekvenciájának nevezzük.
Párhuzamos RLC-kör impedanciája bélyegkép|Párhuzamos RLC-kör Ha egy ohmos ellenállást, egy ideális tekercset és egy ideális kondenzátort párhuzamosan kapcsolunk, akkor a komplex impedancia reciproka:
Ennek abszolút értéke a valós és képzetes rész alapján számítható ki:
Ebből a látszólagos ellenállás:
A komplex impedancia:
Ebből a hatásos ellenállás és a meddő ellenállás:
Ezek alapján a fázisszög tangense:
A látszólagos ellenállásra vonatkozó fenti képlet alapján látható, hogy a párhuzamos RLC-kör látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától. Az összefüggés azonban most viszonylag bonyolult. Az azonban könnyen belátható, hogy a látszólagos ellenállásnak maximuma van annál az ω0 körfrekvenciánál, amelynél az
feltétel teljesül. Ebből a feltételből ez az ω0 körfrekvencia, illetve a hozzá tartozó f0 frekvencia:
Ezt az f0 frekvenciát a párhuzamos RLC-kör sajátfrekvenciájának, vagy rezonanciafrekvenciájának nevezzük.
Párhuzamos (RL)C-kör impedanciája bélyegkép|Párhuzamos (RL)C-kör Ha egy ohmos ellenállást és egy ideális tekercset sorosan kapcsolunk, majd az így kapott rendszerrel párhuzamosan kapcsolunk egy ideális kondenzátort akkor a komplex impedancia két lépésben határozható meg. Elsőként a sorosan kapcsolt ellenállás és tekercs impedanciája: . Ennek alapján a teljes rendszer impedanciája: . Az impedancia valós és képzetes része alapján a látszólagos ellenállás és a fázisszög tangense: ,
. bélyegkép|Egy párhuzamos (RL)C-kör látszólagos ellenállása a frekvencia függvényében A látszólagos ellenállásra vonatkozó fenti képlet alapján látható, hogy a párhuzamos (RL)C-kör látszólagos ellenállása függ a váltakozó feszültség körfrekvenciájától, illetve frekvenciájától. Az összefüggés azonban most viszonylag bonyolult, de a látszólagos ellenállásnak maximuma van egy meghatározott az f0 frekvenciánál. Ezt az f0 frekvenciát a párhuzamos (RL)C-kör sajátfrekvenciájának, vagy rezonanciafrekvenciájának nevezzük.