200px|bélyegkép|jobbra|A trigonometrikus és hiperbolikus függvények, illetve ezek inverzei A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények.
A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ugyanúgy számolható belőlük a hiperbolikus szekáns és a hiperbolikus koszekáns, mint trigonometrikus megfelelőikből a szekáns és a koszekáns. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények. Ezt az adott függvény neve elé tett area szó jelzi. Mindezek a függvények egyes szerzőknél latin nevükkel szerepelnek, mint sinus hyperbolicus, cosinus hyperbolicus, tangens hyperbolicus, cotangens hyperbolicus, secans hyperbolicus, cosecans hyperbolicus; illetve az area függvények: area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus, area cotangens hyperbolicus, area secans hyperbolicus, area cosecans hyperbolicus.
Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, az az egységkört, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le, mely az egységhiperbolához tartozik. A kapcsolat a komplex számsíkon még nyilvánvalóbb, mivel . Így például . A komplex hiperbolikus szinusz és hiperbolikus koszinusz az egész komplex számsíkon folytonosan definiált, sőt holomorf függvények. A többi hiperbolikus függvénynek pólusai vannak a képzetes tengelyen.
A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos. Definíciók 296px|thumb|Az origóból kiinduló sugár az hiperbolát az pontban metszi, ahol a sugár, az -tengelyre vett tükörképe és a hiperbola által közrezárt terület Az egységhiperbola egyenlete , így a két alapvető hiperbolikus függvény, a hiperbolikus koszinusz és a hiperbolikus szinusz:
Hasonló kapcsolatban állnak, mint a trigonometrikus függvények az egységkörrel:
Itt az egyenes és a hiperbola metszéspontjának koordinátája, és az egyenes és a hiperbola metszéspontjának koordinátája. A értéke az koordináta az helyen, azaz az egyenes meredeksége.
Ha a területet integrálással számítjuk ki, akkor az exponenciális ábrázoláshoz jutunk, ami használható ekvivalens definícióként:
Ez alapján a hatványsorok:
Itt az szám faktoriálisa, vagyis az első pozitív egész szám szorzata. Szemben a és a hatványsorával, itt nincsenek negatív együtthatók. Tulajdonságok sh és ch Minden valós számra és valós. A valós függvény értékkészlete az összes valós szám; a valós értékkészletébe az egynél nem kisebb valós számok tartoznak. A valós függvény szigorúan monoton nő, és a nulla helyen inflexiós pontja van, ahol nullhelye is van. A valós szigorúan monoton csökken az intervallumon, és szigorúan monoton nő az intervallumon. Globális minimumát az helyen éri el. A valós függvény aszimptotikus függvényei és . A valós függvény aszimptotikus függvényei és . Mivel , azért a komplex hiperbolikus függvénytulajdonságok a valós függvényekre is teljesülnek: Az függvény páratlan, az függvény páros. A függvények periodikusak, periódusuk . Ez a valós függvényeken nem látszik, mivel a periódus tisztán képzetes; tehát a valós függvények nem periodikusak. A következő szakaszok további összefüggéseket mutatnak be. th és cth Minden valós számra és minden nullától különböző valós számra valós. A függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van. A valós értékkészlete , a valós függvényé . A valós függvénynek az helyen nullhelye van, ami inflexiós pont is. A valós függvény szigorúan monoton nő; szigorúan monoton csökken, ha , és szigorúan monoton csökken, ha Nem periodikus, páratlan függvények. A valós aszimptotikus függvényei és . A valós függvény aszimptotikus függvényei és sech és csch Minden valós számra és minden nullától különböző valós számra valós. A függvény nem értelmezett nullában, ahol pólusa van. A valós függvény értékkészlete ; a valós függvényé . A valós függvény szigorúan monoton nő, ha , és szigorúan monoton csökken, ha . A valós függvény szigorúan monoton csökken, ha , és szigorúan monoton csökken, ha . Nem periodikusak. páros, páratlan. Mindkét függvénynek aszimptotája , ha . A valós függvény maximumát az pontban éri el. a valós függvénynek nincsenek szélsőértékei. A valós függvény inflexiós pontja az helyen vannak. A valós függvénynek nincsenek inflexiós pontjai.
Algebrai összefüggések 256px|bélyegkép|sh, ch és th 256px|bélyegkép|csch, sch és cth
A hiperbolikus függvények:
Hiperbolikus szinusz:
Hiperbolikus koszinusz:
Hiperbolikus tangens:
Hiperbolikus kotangens:
Hiperbolikus szekáns:
Hiperbolikus koszekáns:
ahol az imaginárius egység.
A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.
(Euler-azonosság)
(hiperbolikus egyenlet, a gemotriai definícióból közvetlenül adódik) Szimmetria összefüggések
Innen:
Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.
, így a többi hiperbolikus függvény is periodikus szerint. Addíciós tételek
Speciálisan, ha :
illetve, ha :
Összegzés:
Hatványok
További összefüggések
, ahol az aranymetszés. A hiperbolikus kotangensnek két fixpontja van, azaz két hely, ami megegyezik az ott felvett értékkel: , ahol () Komplex argumentumok Ha valós és képzetes rész, akkor teljesül, hogy:
Például a harmadik és a negyedik egyenlőség levezethető a következőképpen:
Ha , akkor:
Az együtthatók összehasonlításával:
Kapcsolat a trigonometrikus függvényekkel A szögfüggvények és a hiperbolikus függvények közötti kapcsolat:
ahol a Gudermann-függvény. Átszámítási táblázat Függvény
Deriváltak
A tangens hiperbolicus -edik deriváltja
ahol An,k Euler-számok.
Integrálok
A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója.
Improprius integrál:
Differenciálegyenletek A és függvények az
lineáris differenciálegyenlet alaprendszerét, más néven megoldásbázisát alkotják, ugyanúgy mint az és függvények. Ha a két függvény számára kezdeti feltételként előírjuk, hogy , és , legyen, akkor ezzel a és függvényeket választottuk. Ezeket a tulajdonságokat a definícióból is bizonyítani lehet.
A függvény megoldja a következő differenciálegyenleteket vagy
az és kezdeti feltételekkel.
Taylor-sorba fejtés A hiperbolikus függvények Taylor-sorai:
(Laurent-sor)
(Laurent-sor)
ahol
az n-ik Bernoulli-szám az n-ik Euler-szám
A tangens hyperbolicus Taylor-sora így kezdődik:
ahol
az n-ik Bernoulli-szám. A konvergenciasugár .
Végtelen szorzatként Legyen . Ekkor minden komplex -re:
Lánctörtként Johann Heinrich Lambert képlete:
Bijektivitás sh Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:
Ekkor az függvény bijektíven leképezi az sávokat a halmazokra. ch Definiáljuk a következő halmazokat a komplex számokon:
Ekkor az függvény bijektíven leképezi az sávokat a halmazokra. Inverz függvények A hiperbolikus függvények inverz függvényeit áreafüggvényeknek vagy inverz hiperbolikus függvényeknek nevezzük: áreaszinusz hiperbolikusz és áreakoszinusz hiperbolikusz áreatangens hiperbolikusz és áreakotangens hiperbolikusz áreaszekáns hiperbolikusz és áreakoszekáns hiperbolikusz
Az inverz függvényeket csak olyan leszűkítéseken lehet definiálni, ahol az adott függvény egyértelmű. Így a szinusz hiperbolikuszt nem kell leszűkíteni, de például a koszinusz hiperbolikuszt igen: a koszinusz hiperbolikuszt az korlátozva definiálják az áreakoszinusz hiperbolikuszt. Elemi módszerekkel kiszámolható, hogy: . .
A tangens hiperbolikusz bijektív függvény. Inverz függvénye az area tangens hiperbolikusz, ami az intervallumon értelmezett:
Az áreakotangens hiperbolikusz:
a intervallumon kívül értelmezve.
Hasonlóságok a szögfüggvényekkel bélyegkép|Kör és hiperbola kapcsolata Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk.
Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört ( x2 + y2 = 1) határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:
és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re.
A hiperbolikus függvények periodikusak komplex periódus szerint.
A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol.
A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen: lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk. Néhány példa:
A „kétszeres szög” képletek:
és a „fél-szög” képletek: Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.
Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva (-1)-gyel.
Az deriváltja , a deriváltja pedig . Numerikus számítások A tangens hyperbolicus számítható a képlettel. Ez azonban nagy, illetve kis abszolútértékű helyeken gondot okoz: Nagy értékeknél túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja Kis értékek esetén vészes kiegyszerűsödés adódik, így az eredmény pontatlan lesz.
Ekkor a következő közelítések alkalmazhatók: akkora pozitív szám, hogy . Ekkor , ahol a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16. nagy abszolútértékű negatív szám úgy, hogy , ahol szerepe a nagy pozitív számnál szereplő -hoz hasonló. Ekkor az előző esethez hasonlóan . abszolútértékben kicsi. Például, ha , akkor , ahol jól közelíthető Taylor-sorának első néhány tagjával:
A többi hely esetén marad az eredeti képlet:
Alkalmazások Az differenciálegyenlet megoldásai az , ahol alakú függvények.
Egy csak saját súlya által terhelt homogén lánc alakját hiperbolikus koszinusz függvénnyel lehet leírni. Ezt az alakot láncgörbének vagy katenoidnak hívják.
Egy x irányú Lorentz-transzformáció rapiditása segítségével a transzformáció mátrixa így írható le:
Látható a hasonlóság a forgatómátrixszal, amivel a négydimenziós Lorentz-transzformációk és a forgatások közötti hasonlóság is felismerhető.
A hiperbolikus szinusz és koszinusz a kozmológiában is előfordul. Egy lapos univerzumban, mely lényegében csak anyagot és sötét energiát tartalmaz (és ezáltal a mi univerzumunk közelítése), a skálafaktorok növekedését leíró összefüggés: , ahol karakterisztikus időskála; aktuális Hubble-paraméter és a sötét energia sűrűségparamétere. Az anyag sűrűségparaméterének időbeli függőségénél a koszinusz hiperbolikusz bukkan fel: .
A tangens és a cotangens hyperbolicus használható arra, hogy az eltelt idő függvényében kiszámítsuk a légellenállásos esés sebességét, illetve turbulens áramlásban esik a tárgy (Newton-súrlódás). A koordináta-rendszert úgy rögzítjük, hogy a helytengely felfelé mutasson, tehát a térbeli mozgás tükörképeként. A sebesség az differenciálegyenletből számítható, ahol nehézségi gyorsulás, pozitív konstans, melynek mértékegysége . A végsebesség , ami a sebesség határértéke. Teljesül továbbá, hogy: az esés vagy hajítás kezdeti sebessége kisebb, mint a végsebesség: , ahol hajítás esetén a kezdősebesség nagyobb, mint a végsebesség: , ahol