bélyegkép|jobbra|300px|A kardinálszinusz (kékkel) és integrálja, az integrálszinusz (pirossal). A matematikai analízisben az integrálszinusz függvény az úgynevezett kardinálszinusz függvény 0-ban eltűnő integrálfüggvénye, azaz a
függvény. Neve a latin sinus integralis kifejezésből származik. Joseph Liouville hozta fel példaként arra, hogy léteznek olyan függvények, melyeknek integrálja nem fejezhető ki zárt alakban, illetve a
differenciálegyenlet nem integrálható kvadratúrával.
Előállítása végtelen sor formájában Ugyan az integrálszinusz nem fejezhető ki zárt alakban, azonban függvénysorként igen. Az integrálszinusz a 0 pont körül Taylor-sorba fejthető, és a 0-beli Taylor-sora előállítja a függvényt, így analitikus függvény. A sor konvergensen kiterjeszthető komplex számok körében, ami a komplex integrálszinuszt adja:
Ez annak a következménye, hogy kardinálszinusz egyenletesen konvergens sorösszeggel állítható elő:
A sor x = 0-ban is konvergens, és összege 1, így egyenletesen konvergens, ezért a sorok integrálására vonatkozó tétel szerint:
Előállítása homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásaként A függvény másik lehetséges definiálási módja, hogy az
közönséges, harmadrendű, függvényegyütthatós, homogén lineáris differenciálegyenlet (egy) megoldása.
További tulajdonságok A szinusz integrálisz határértéke a végtelenben:
s mivel páratlan függvény, ezért
illetve:
Az integrálszinusz előállítása c nyelven double accuracy=0.00001; // a függvény hívása előtt más érték adható. Minél kisebb az érték, annál nagyobb a pontosság, és annál lassabb a művelet elvégzése
double SI(double x){ double xmul=1; if(x<0){xmul=-1;x=fabs(x);} if(x==0){return 0;} double t,ret; ret=0; for(t=accuracy;t<x;t=t+accuracy){ ret=ret+0.5*accuracy*(sin(t)+sin(t+accuracy))/t; } return xmul*ret; }
Kapcsolódó szócikkek Koszinuszintegrál
Kategória:Analízis Kategória:Analitikus függvények