200px|bélyegkép|jobbra|A trigonometrikus és hiperbolikus függvények, illetve ezek inverzei bélyegkép|200px|jobbra|Az arsh (area hiperbolikus szinusz) függvény bélyegkép|200px|jobbra|Az arch (area hiperbolikus koszinusz) függvény bélyegkép|200px|jobbra|Az arth (area hiperbolikus tangens) függvény bélyegkép|200px|jobbra|Az arcth (area hiperbolikus kotangens) függvény Az inverz hiperbolikus függvények – más néven area hiperbolikus függvények – a hiperbolikus függvények inverzei. Az area név onnan ered, hogy értékük – ha valós és nemnegatív – megegyezik a derékszögű koordináta-rendszerben felrajzolt hiperbola, valamint két – az argumentumtól függő – origón átmenő, ellentett meredekségű egyenes által határolt terület nagyságával. Megjegyzés: Ugyanez az inverz trigonometrikus függvényekről is elmondható, azzal a különbséggel, hogy ott az egyenletű egységkör szerepel. Az inverz trigonometrikus függvények esetében azonban (a körívhossz és körcikkterület arányossága miatt) a függvényértékre nemcsak mint területre, hanem mint ívhosszra is gondolhatunk, ezért jelölik őket arc (arcus, ív) előtaggal.
Jelölésük Az area hiperbolikus szinusz példáján bemutatva:
A legelterjedtebb jelölés az arsh illetve az arsinh. A számítástechnikában leggyakrabban asinh-val jelölik. Az sh-1 jelölés szintén használatos, de ügyelni kell arra, hogy a -1 ne legyen összetéveszthető a reciprokképzéssel. Az arcsinh forma is gyakori, annak ellenére, hogy az arc rövidítés az arcus, azaz ív szó helyett áll, a hiperbolikus függvények pedig területnagysághoz kapcsolódnak, ívhosszhoz nem. Ezért helyesebb az ar jelölést használni, ami az area, azaz a terület szóból ered.
Kiszámításuk Az area-függvények megkaphatók bizonyos irracionális kifejezések logaritmusaként:
A fenti képletek a komplex számok körében is érvényesek. Ebben az esetben ügyelni kell arra, hogy a logaritmus és a négyzetgyök főértékével (principálisával) számoljunk és akkor a függvényérték esetén is a főértéket kapjuk. Erre azért van szükség, mert az area-függvények a komplex számok halmazán nem egyértékűek, hiszen a komplexek között az exponenciális függvény periodikus. Tulajdonságaik Areasinus hyperbolicus és areacosinus hyperbolicus A valós areasinus hyperbolicus minden valós számra értelmezett. A valós areacosinus hyperbolicus csak az számokra értelmes. A valós areasinus hyperbolicus értékkészlete a valós számok halmaza. A valós areacosinus hyperbolicus értékkészlete a nemnegatív számok halmaza. Szigorúan monoton növő függvények. Nem periodikusak. A valós areasinus hyperbolicus páratlan függvény. A valós areasinus hyperbolicusnak inflexiós pontja van az helyen. A valós areasinus hyperbolicus nullhelye -ben, a valós areacosinus hyperbolicusé -ben van. Areatangens hyperbolicus és areacotangens hyperbolicus A valós areatangens hyperbolicus értelmezett a szakaszon. Nullhelye a nullában van, ami inflexiós pont is. A valós areacotangens hyperbolicus értelmezési tartománya két félegyenes uniója: . A valós areatangens hyperbolicus értékkészlete a valós számok halmaza. A valós areacotangens hyperbolicus értékkészlete a valós számok halmaza, kivéve a nullát. A valós areatangens hyperbolicus szigorúan monoton nő. A valós areacotangens hyperbolicus szigorúan monoton csökken a és a tartományon is. Nem periodikus, páratlan függvények. A valós areatangens hyperbolicus aszimptotái: , és . A valós areacotangens hyperbolicus aszimptotái: Pólusaik vannak az helyen. Areasecans hyperbolicus és areacosecans hyperbolicus A valós areasecans hyperbolicus értelmezett az számokon. A valós areacosecans hyperbolicus értelmezési tartománya . A valós areasecans hyperbolicus értékkészlete: . A valós areacosecans hyperbolicus értékkészlete: . A valós areasecans hyperbolicus szigorúan monoton csökken. A valós areacosecans hyperbolicus szigorúan monoton csökken a negatív, illetve a pozitív számokon. Nem periodikusak. A valós areacosecans hyperbolicus páratlan függvény. A valós areasecans hyperbolicus inflexiós pontja . Nullhelye . A valós areasecans hyperbolicus aszimptotája ; . valós areacosecans hyperbolicus aszimptotája ;
Algebrai összefüggések Teljesülnek a következők:
ahol a szignumfüggvény. Ha , akkor:
ahol aranymetszés. Sorfejtésük
Deriváltjaik
Valós x értékekre:
Példaként nézzük a következőt: θ = arsh x, így:
Határozatlan integrálok
Numerikus számítások Az areasinus hyperbolicus számítható az képlettel. Ez azonban nagy, illetve kis abszolútértékű helyeken gondot okoz: Nagy értékeknél túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja Kis értékek esetén vészes kiegyszerűsödés adódik, így az eredmény pontatlan lesz.
A következőkben feltesszük, hogy . Ekkor a következő közelítések alkalmazhatók: akkora pozitív szám, hogy :
ahol a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.
A képlet a következő meggondolásból adódik: a legkisebb pozitív szám, amikor az utolsó számjegy még pontosan elmentődik, így teljesül. Kiszámoljuk azt az -et, amettől kezdve . Kijön, hogy ez esetén van így, ahonnan . Ebben az esetben helyettesíthető -tel: ≈
a nullához közeli kis pozitív szám. Ekkor a Taylor-sor alkalmazható. Például, ha :
Általános eset: számolhatunk az eredeti képlettel:
Az areacosinus hyperbolicus számítható az képlettel. Ez azonban nagy abszolútértékű helyeken gondot okoz, mivel túlcsordulás jön létre, habár az eredmény nagysága ezt nem indokolja. A kis értékek nem okoznak alulcsordulást, mivel a nulla közelében a függvény nem definiált.
akkora pozitív szám, hogy :
ahol a szignifikáns számjegyek száma az adott számtípusnál, például double esetén 16.
esetén a függvény nem definiált. Általános esetben, azaz ha :
Források Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961. J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. Christoph Bock: Elemente der Analysis. (PDF; 942 kB) Abschnitt 7.10. Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Tangent und Inverse Hyperbolic Cotangent auf MathWorld
További információk Inverz hiperbolikus függvények a MathWorldben PHP programozási segédlet
Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Secant und Inverse Hyperbolic Cosecant auf MathWorld
Fordítás
Kategória:Analízis Kategória:Függvények