bélyegkép|320px|A modális logikai négyszög
A modális logika a klasszikus logika olyan bővítése, amely már modális kijelentéseket is tartalmaz. A modális logikában egy kijelentés nem pusztán igaz vagy hamis lehet, hanem egy bizonyos módon igaz is – például szükségszerű, tudott vagy hitt, kötelező, bizonyítható.
A modális logika legjellemzőbb kifejezései a „lehetséges, hogy A” (jelben: ''), a „szükségszerű, hogy A” (jelben: '') és ezek átfogalmazásai, például: „Lehet, hogy holnap tengeri csata lesz.” „Nixon győzhetett volna.” „Szükségszerű, hogy egy modális logikáról szóló bevezetőben mindig az alethikus modalitással kezdjék.”
Ezek az operátorok a dualitás elve alapján kölcsönösen kifejezhetők egymással; ha A mondat, akkor lehetséges A akkor és csak akkor, ha nem szükségszerű, hogy nem A, azaz:
szükségszerű A akkor és csak akkor, ha nem lehetséges nem A, azaz:
A szükségszerűségen és a lehetőségen, azaz az úgynevezett alethikus modalitásokon kívül vizsgálható számos egyéb modalitás is. Ilyenek például a megismerhetőséget (episztemikus modalitás), a meggyőződés fokát (doxatikus modalitás), az időbeli elhelyezkedés szintjeit (temporális modalitás), a valamely normarendszerben megengedhető tevékenységeket (deontikus modalitás), vagy pl. az egy formális rendszerbeli bizonyíthatóságot kifejező állítások.
Áttekintés A modális logika története
A modális logika ugyanolyan régi, mint maga a logika. Arisztotelész foglalkozott vele először, aki a kategorikus szillogizmusok összegyűjtése után fölsorolja a modális szillogizmusokat is. Később a középkori logikusok foglalkoztak bővebben a modális szillogizmusok természetével. Ők már megkülönböztették a de dicto és a de re modalitásokat. Az, hogy melyik modális szillogizmust melyik értelemben tartották elfogadhatónak, szinte kizárólag a filozófiai nézetrendszerükön múlott.Ruzsa, 1997 p.246 A tizenkilencedik század végén és a huszadik század elején egy ideig kizárólag extenzionális logikával foglalkoztak, ezért a modális logikában nem születtek új eredmények.
A modern modális logika kezdetét általában Clarence Irving Lewis 1918-ban megjelent A Survey of Symbolic Logic című könyvéhez szokás kötni. Ebben Lewis már egy konkrét modális állításkalkulust fejt ki, amelyben konzekvensen alkalmazza a modális operátorokat.Ruzsa, 1984 p.137 A modális logika elsőrendű bővítése azonban paradoxonokhoz vezetett, amelyekkel kapcsolatos két markáns álláspont a Quine–Marcus vitában kristályosodott ki.Az összes álláspont áttekintéséhez lásd: Ruzsa, 1984, p.172 skk Mindezen viták után a még 17 éves Saul Kripkének (nem kis mértékben Rudolf Carnap korábbi munkásságára támaszkodvaRuzsa, 1984 p.227) sikerült szemantikát szerkesztenie a modális kalkulusokhoz, így ezeket azóta már teljes értékű logikaként lehet vizsgálni.
A modális logika mint intenzionális logika
A modális logika elsősorban abban különbözik a klasszikus logikától, hogy a modális kifejezéseket tartalmazó állításainak vizsgálata nem fér el az ún. extenzionális logika keretei között: Extenzionális egy logika, ha benne az összetett kifejezések extenzióját (ez terminusok esetében a jelölt, kijelentések esetében az igazságérték) egyértelműen meghatározza az összetevők extenziója. Tekintsük a következő két példát:
Klasszikus logikából jól ismert extenzionális kifejezés például a tagadás: „Nem igaz, hogy az Esthajnalcsillag a Vénusz.” Ez az állítás pontosan akkor hamis, ha az Esthajnalcsillag a Vénusz, tehát ha tudjuk az összetevőjének, jelen esetben az azonosságállításnak az igazságértékét, akkor tudjuk az egész mondat igazságértékét is.
Ellenben a helyzet nem mindig ilyen egyszerű. Előfordulhatnak olyan kifejezések, melyeknél hiába tudjuk az argumentumának igazságértékét, ezekből mégsem vonhatunk le semmilyen következtetést az egész kifejezés igazságértékét illetően. Vegyük például a következő mondatot: „Esetleges, hogy az Esthajnalcsillag a Vénusz.” Itt az a tény, hogy az „az Esthajnalcsillag az a Vénusz" azonosságállítás igaz, még magában nem elég ahhoz, hogy egyértelműen eldönthessük, a modális „esetleges, hogy” kifejezéssel ellátott állítás igaz-e vagy hamis. Az ilyen intenzionális (azaz nem extenzionális) kifejezések vizsgálata már az intenzionális logika feladata. A modális logikát ezért is szokás az intenzionális logika első fejezetének tekinteni.Előfordul az is, hogy az ezzel foglalkozó szakkönyvek nem „modális”, hanem csak mint „intenzionális” logikáról beszélnek róla, például L. T. F. Gamut: Language and Meaning 2: Intensional Logic and Logical Grammar
A modális operátor A modális logikára jellemzően a matematikában mint a logikailag konzekvens mondatoperátorok elméletére tekintenek, ami alatt a következő értendő:
A klasszikus logikának egy olyan bővítése, melyben adott legalább két, általában a és szimbólummal jelölt és formulákhoz kapcsolódó operátor, melyekre a következőket kötjük ki: , azaz érvényes a modális operátorokra vonatkozó De Morgan azonosság, más szóval kifejezhetők egymással. Érvényes a következő következtetés:
azaz ha adott egy helyes következtetés, akkor a premisszákat modalizálva azokból következik a konklúzió modalizáltja is.
Szokás a jellel jelölt operátort erős, a jellel jelölt operátort gyenge modalitásnak is nevezni.
A modális operátorokkal kapcsolatban két érdekes modális logikai típust érdemes még megemlíteni: Vannak olyan logikák, az ún. multimodális logikák vagy többdimenziós modális logikák, melyekben több ilyen (nem redundáns) operátor is előfordul. Ilyen logika például a temporális logika. Vannak olyan logikák is, az ún. polimodális logikák, amelyekben a modális operátornak nem csupán egy argumentuma van, pl.: . A következőkben bemutatásra kerülő Lewis-i szigorú kondicionális () is tulajdonképpen ilyen kétargumentumú modális operátor.
Motiváció: C. I. Lewis szigorítása Clarence Irving Lewis alkotta meg a modális logika első formalizált rendszereit abból a célból, hogy szigorítsa a klasszikus logika materiális kondicionálisát. Értelmezésében az általa használt ún. szigorú kondicionális azt fejezné ki, hogy -ból levezethető (nem pedig hogy hamis vagy igaz, ahogy ez a klasszikus logikában van). A modalitásnak ezzel levezethetőségként, bizonyíthatóságként való értelmezésével ma már a modális logikán belül az ún. bizonyíthatósági logika foglalkozik.
A szigorítást Lewis a következőképpen képzeli el:
Amíg a klasszikus jelentése: Nem áll fenn, hogy igaz, de hamis. Addig ezt a következőképpen lehet szigorítani az alethikus modalitással: Nem állhat fenn, hogy igaz, de hamis. Más szóval: Szükségszerű, hogy hamis, vagy igaz. Tehát
Azaz itt már érezhetően nem csak az aktuális szituáció, hanem az összes lehetséges szituáció is szerepet játszik igazságának eldöntésében. E jelet egyébként 'horognak' szokás mondani, ezt a kondicionálist pedig Lewis után szigorú kondicionálisnak nevezik.Ez a Ruzsa-iskola-féle terminológia. A bevettől eltérő („strict implication”) névválasztást az indokolja, hogy megkülönböztessék a Releváns logika teljesen más alapokon nyugvó Ruzsa Imre által szigorú implikációnak fordított kondicionálisfogalmától.
A bikondicionális szigorú változatát pedig oda-vissza horoggal szokás jelölni:Sajnálatos szedési nehézsége miatt viszonylag ritkán jelölnek horoggal. Előfordul még (akár vegyesen is) az vagy a páros is.
De re és de dicto olvasatok Kvantifikált modális állításokkal kapcsolatban előfordulhatnak kétértelmű kifejezések. Vegyük például a következő állítást: „Minden káplár lehet generális.” Ennek kétfajta olvasata lehetséges: „Minden káplár számára nyitott a lehetőség, hogy generális legyen.” „Lehetséges, hogy minden káplár generális legyen” vagy „lehetséges, hogy nincs olyan káplár, aki ne lenne generális.” Formalizálva a különbség egyből kitűnik: de re: káplár generális de dicto: káplár generális A kétfajta olvasat tehát abban különbözik, hogy a modális operátor szabad vagy kötött változóra vonatkozik-e. Előbbit nevezzük a de re, „a dologról szóló”, utóbbit a de dicto, „az állításról szóló” olvasatnak.A de re és de dicto olvasatok nem csak modális kontextusban jönnek elő. Előfordulhatnak bármely két operátor hatókörével is, például deskriptorok és negációk hatókörével is.
A modalitás és kvantifikáció kapcsán felmerülő de re és de dicto értelmezésekkel kapcsolatos viták a nyelvfilozófia és filozófiai logika jellegzetes problémái, melyek Arisztotelésztől a 20. századig jellegzetes és szinte mindig előtérben lévő témái a modális logikával kapcsolatos vitáknak.
Hol használják? Egy kis illusztráció – a teljesség igénye nélkülEz csak pár főbbnek mondható terület, bővebben erről a Zakharyaschev-Chagrov, Preface-ben és a Handbook of Philosophical Logic kötetek első oldalain lévő (sokoldalas) táblázatoknál lehet olvasni. –, hogy különböző területek milyen logikákon keresztül miféle modalitásokat vizsgálnak:
Filozófiában széles körben, például alethikus modalitást, temporális modalitást, episztemikus modalitást, deontikus modalitást, A matematika megalapozásánál az intuicionista logikában vagy a bizonyíthatósági logikában. Számítástechnikában a dinamikus logikában és temporális logikában, Kognitív tudományokban például az autoepisztemikus logikában, Nyelvészetben a modalitások tanulmányozásánál.
Grammatika A modális logika grammatikája mindig egy klasszikus logika grammatikájának bővítése. A bővítés abban áll, hogy a klasszikus logika nyelvébe még bevezetnek egy vagy több modális operátort, majd a dualitás törvénye szerint definiálják azok párjait. Nullad- és elsőrendű modális nyelvek formális definíciója – Jobbra nyithatod ki a részletezést! Egy nulladrendű modális nyelv formális definíciója – Jobbra nyithatod ki a részletezést! Nulladrendű modális nyelv: Az rendezett hármason egy modális nyelvet fogunk érteni, melyben a logikai konstansok osztálya, az atomi formulák osztálya, pedig a nyelv formuláinak osztálya. Rekurzív definíciója: Bázis: . Bővítési szabályok: ha , akkor "", "" , ha , akkor "" . Záradék: a legszűkebb ilyen módon értelmezett osztály.
Definíciók:
Egy elsőrendű modális nyelv formális definíciója – Jobbra nyithatod ki a részletezést! Elsőrendű modális nyelv: Az rendezett ötösön egy modális nyelvet fogunk érteni, melyben osztályok diszjunktak, továbbá a logikai konstansok osztálya, a nyelv változóinak végtelen számosságú osztálya, a nyelv nemlogikai konstansainak osztálya, ahol a névfunktorok, a predikátumok osztálya. a nyelv terminusainak osztálya. Ha az argumentumszám, pedig az -tagú terminusfüzér, akkor és szimultán induktív definíciója: Bázis:
Bővítési szabályok: Ha és , akkor "". Ha és , akkor "" . Záradék: a legszűkebb ilyen módon értelmezett osztály. pedig a nyelv formuláinak osztálya. Induktív definíciója: Bázis:
Ha , akkor "" Ha (ahol ) és , akkor "". Bővítési szabályok: Ha , akkor "", "" . Ha , akkor "" . Ha és , akkor "" . Záradék: a legszűkebb ilyen módon értelmezett osztály.
Definíciók:
Lehetséges világok szemantikája Már fentebb volt szó arról, hogy nem egy szituációt veszünk figyelembe, hanem több lehetséges szituációra terjesztjük ki a modális operátorokkal formuláink igazságfeltételét. Ha a modalitást egyfajta logikai értelemben vett szükségszerűségként értelmezzük, akkor így a formula akkor lesz igaz, ha minden ilyen lehetséges szituációban, minden ún. lehetséges világbanHívják még relációs világnak vagy pontnak is. igaz. Ehhez hasonló módon a formula pedig akkor lesz igaz, ha igazságértéke legalább egy lehetséges világban igaz lesz. A és modális operátorokat fölfoghatjuk tehát egyfajta 'álcázott' kvantoroknak, melyek a lehetséges világok fölött kvantifikálnak. Azon formulák esetében, melyekben nem szerepel modális operátor, természetesen nem kényszerülünk másik világokat megvizsgálni – ilyenkor minden úgy működik, ahogy azt a klasszikus logikában megszoktuk.