bélyegkép|jobbra|250px|Vektormező gömbfelületen A Gauss–Osztrohradszkij-tétel (divergenciatétel) segítségével az integrálegyenleteket differenciális alakra hozhatjuk. Maga a tétel egy vektor zárt felületre vett integrálja és ugyanezen vektor divergenciájának térfogati integrálja között teremt kapcsolatot. A tétel szerint tetszőleges F zárt felület által határolt V térfogatban definiált nem szinguláris V(x) vektormezőre fennáll, hogy V divergenciájának térfogati integrálja megegyezik a (normális) F felületelem és V skaláris szorzatának integráljával:
,
vagy (a merőleges komponens felírásval)
.
Más szavakkal a V vektortérnek a zárt F felületen átmenő skaláris fluxusa egyenlő V divergenciájának az F által bezárt V térfogatra kiterjedő integráljával.
Ugyanez komponensenként kiírva derékszögű koordinátákkal:
Ez a fizikai Gauss-törvényben a következőképpen jelenik meg. Vegyük a Gauss-törvény integrális összefüggését:
Alkalmazva a divergenciatételt, majd az egyenletet átrendezve az
egyenletet kapjuk.
Mivel a V térfogat tetszőleges, ezért az integrál csak akkor lesz zérus, ha az integrandus is zérussal egyenlő, azaz:
Ezzel tehát valóban megkaptuk az elektrosztatika Gauss-törvényének differenciális alakját.
Általánosítás A divergenciatétel általánosítható Riemann-sokaságokra, tehát olyan sima sokaságokra, melyek fel vannak ruházva egy Riemann-metrikával. Ennek bizonyításához elengedhetetlen a következő tétel:
Legyen egy -dimenziós irányítható peremes sima sokaság, továbbá legyen egy kompakt tartójú -forma -en. Ekkor fennáll az alábbi összefüggés: Theorem 16.11.
,
ahol a külső deriváltat jelöli, továbbá egy topologikus térből vektor térbe érkező függvényt akkor mondunk kompakt tartójúnak, ha a zérushelyeinek halmaza relatív kompakt (a lezártja kompakt).
Ha a sokaság Riemann, akkor az 1-formák tere azonosítható a vektormezők terével, 342–343.o. valamint, ha a sokaság 3 dimenziós, akkor a Riemann-struktúra segítségével a rotáció definiálható. Ekkor a fenti tétel a Stokes-tétel általánosításaként fogható fel, továbbá megadja más ismert integráltételek bizonyításának alapvető összefüggését.
A Riemann-sokaságokon értelmezett divergenciatétel precíz megfogalmazása a következő: legyen egy irányítható peremes Riemann-sokaság, és legyen egy sima kompakt tartójú vektormező -en. Ekkor a következő teljesül:
,
ahol egy -menti merőleges kifele mutató egységhosszúságú vektormező, pedig az indukált Riemann-metrika -en. Theorem 16.32.
Jegyzetek
Források Divergenciatétel Példák a tételre Divergencia John David Jackson: Klasszikus elektrodinamika (Typotex, Budapest, 2004) (Információ a kiadványról: 1. és 2.) Matematikai zsebkönyv (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974) Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise (A könyv adatlapja a Molyon)
Kategória:Valós analízis Kategória:A fizika matematikája Kategória:Matematikai tételek