300px|bélyegkép|Ciolkovszkij rakéta-egyenletének elemei
A Ciolkovszkij-egyenlet az idealizált rakéta mozgását írja le. Nevét Konsztantyin Eduardovics Ciolkovszkij orosz kutatóról kapta, aki munkássága során sokat foglalkozott az űrutazással, és ő alapozta meg tudományosan a többlépcsős rakéták elméletét is.
Ciolkovszkij rakéta-egyenlete idealizált gravitáció és légellenállás nélküli (vákuum) esetre:
Ahol: a rakéta sebessége a t időpillanatban, a rakétát elhagyó gázsugár sebessége a rakétához képest (jellemző érték kémiai hajtóanyag esetén: 4,5 km/s), a rakéta induló tömege és a rakéta tömege az indulástól számított t idő múlva.
Az egyenlet levezetése Jelöljük a rakétából kiáramló gázsugár a rakétához képest állandó sebességét vg-vel, az inerciarendszerhez képesti pillanatnyi sebességét pedig vgi-vel, az indulástól számított t idő elteltével a rakéta tömegét m-el, t + dt időpillanatban a rakéta tömege pedig legyen m - dm. A rakéta a t-ik időpillanatban mért P1 impulzusára az alábbi összefüggés írható:
A t + dt időpontban a P2 impulzusa pedig így írható:
A két impulzus különbsége, ha a másodrendűen kicsi dm.dvgi tagot elhanyagoljuk: , azonban, mivel a gázsugár relatív sebessége a rakétához képest , és mivel a rakétára semmiféle külső erő nem hat, a két impulzus különbsége nulla, ezért írhatjuk: , A rakéta pillanatnyi m tömegével elosztva mindkét oldalt: , a rakétamozgás differenciálegyenletéhez jutunk, aminek megoldása egyszerűen integrálással történik:
és innen a rakéta sebessége:
Források К. Э. Циолковский, Исследование мировых пространств реактивными приборами, 1903. Ciolkovszkij fenti műve PDF formátumban
Kategória:Klasszikus mechanika