jobbra|Téglalap A téglalap olyan négyszög, amelynek minden szöge derékszög. Két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú, ezért minden téglalap egyben paralelogramma is. A négyzet a téglalap egy speciális típusa, amelynek minden oldala egyenlő. A téglalap belső szögeinek összege 360°. Mivel a szemközti szögeinek összege 180°, ezért a téglalap egyúttal húrnégyszög is. Az oldalakat az ábécé kisbetűivel szokás elnevezni: a, b. Területe a két oldal szorzata:

Kerülete az oldalak hosszának összege:

Két átlója egyenlő hosszúságú, és a felezőpontjuknál metszik egymást. Az átlók hossza a Pitagorasz-tétellel számítható ki: .

Arany téglalapoknak nevezik azokat a téglalapokat, melyekre .

A topológiában a téglalap egy csúcsokkal és élekkel bíró sokaság.

Elnevezései

Régies magyar elnevezése téglány. Az oblongum elnevezés a görög ετερομηκες („eltérő hosszúságok”) szóból ered, ami Eukleidész Elemek című művében szerepel.

Tulajdonságok Konvex Minden szöge egyenlő: derékszög, tehát egyenlő szögű sokszög Mindkét átlója ugyanolyan hosszú Az átlók felezik egymást. Az átlók felezőpontja a körülírt kör középpontja. Duális sokszöge rombusz Tükörszimmetrikus az oldalfelező merőlegesekre. A két szimmetriatengely merúőleges egymásra. Szimmetriacsoportja a Klein-csoport. Paralelogramma: Szemben fekvő oldalai párhuzamosak és egyenlő hosszúak Középpontosan szimmetrikus

A téglalap jellemezhető, mint: Derékszögű paralelogramma Paralelogramma egyenlő hosszú átlókkal Négyszög egyenlő hosszú átlókkal, melyek felezik egymást Négyszög, melynek szemben fekvő oldalpárjai egyenlő hosszúak, és van derékszöge Képletek thumb|A téglalap területe megegyezik oldalainak szorzatával Mathematische Formeln zum RechteckTerületKerületÁtlókKörülírt kör sugaraBelső szögek Optimalizációs feladatok Különböző optimalizációs feladatok vannak a téglalapokhoz. Keresünk egy téglalapot, amihez: adott átlóhosszal vagy adott területű körülírt körrel a minimális kerületű adott átlóhosszal vagy adott területű körülírt körrel a maximális területű adott kerülettel az átlók hossza minimális vagy a körülírt kör területe minimális adott kerülethez a maximális terület adott területhez minimális hosszúságú átlók vagy a minimális területű körülírt kör adott területhez minimális terület

Ezeknek a feladatoknak mindig a négyzet a megoldása.

A feladatok közül több ugyanazt fogalmazza meg más mennyiségekkel, így visszavezethetők három optimalizációs problémára: az átlók hossza és a körülírt kör területe nyilván ugyanazzal a megoldással bír, mivel a körülírt kör területe folytonos, szigorúan monoton növő függvény a változóban.

thumb|Téglalap átlóhosszakkal és a d átlóval

Például ha adva van a átló, és keressük a legnagyobb területű ABCD téglalapot, akkor segít a körülírt kör. Az AC átló Thalész tétele szerint a körülírt kör átmérője.

A téglalap felosztható ABC és CDA háromszögekre. Az ABC háromszög területe akkor a legnagyobb, ha a B pont az AC oldalon a legmagasabban áll. Ez pontosan akkor történik, ha az AB és BC oldalak hossza egyenlő, tehát a háromszög egyenlő szárú is. Ugyanígy a CDA háromszög területe pont akkor a legnagyobb, hogyha a CD és a DA oldalak egyenlő hosszúak. Tehát az ABCD téglalap területe akkor a legnagyobb, ha négyzet.

Egy másik lehetőség a terület becslése egyenletekkel.

Egy és oldalú téglalap átlójának hossza , területe . Az oldalú négyzet átlójának hossza ugyanez, és területe . A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt minden pozitív és oldalhosszra, és egyenlőség csak akkor teljesül, ha . Ebből következik, hogy a legnagyobb területű téglalap a négyzet.

Mértékelmélet A mértékelmélet elterjedt felépítésében a koordinátatengelyekkel párhuzamos élű téglalapok fontos szerephez jutnak, ugyanis az ő mértéküket (területüket) definiálják először, és csak aztán terjesztik ki a fogalmat más síkidomokra.

Parkettázások A sík többféleképpen is parkettázható téglalapokkal:

150px150px150px150px150pxHalszálkaminta Téglalaprács thumb|Téglalaprács A téglalaprács végtelen számú pont elrendezése a kétdimenziós euklideszi síkon. Ez a ponthalmaz leírható

halmaz alakba írható, ahol az , pozitív valós számok a szomszédos pontok közötti távolság. A téglalaprács két affin nyújtással keletkezik négyzetrácsból.Wolfram MathWorld: Cubic Lattice

Ez a téglalaprács tengelyesen szimmetrikus, forgásszimmetrikus, és pontra tükrözésre szimmetrikus, továbbá eltolásszimmetrikus bizonyos hosszúságú vektorokra, melyek párhuzamosak a két koordinátatengely irányába: , , ahol , egész számok és , a két egységvektor a két egységvektor a kétdimenziós euklidészi vektortérben.

Ha egy geometriai alakzatot négyzetrácsra helyeznek, és azzal együtt transzformálják úgy, hogy különböző irányokba különböző nyújtást alkalmaznak, akkor a következő geometriai alakzatok keletkezhetnek:

Geometriai alakzatok párhuzamos nyújtásaNégyzetrácsbanA transzformált rácsbanmerőleges irányokbantetszőleges irányokbanNégyzetTéglalapParalelogrammaTéglalapTéglalapParalelogrammaRombuszRombuszParalelogrammaParalelogrammaParalelogrammaDerékszögű háromszögDerékszögű háromszögHáromszögEgyenlő szárú háromszögEgyenlő szárú háromszögHáromszögKörEllipszisEllipszisEllipszisEllipszisEllipszis Arany téglalap thumb|Mindkét háromszög: – az a : b oldalarányú, illetve az (a + b) : a oldalarányú – arany téglalap

Egy arany téglalap olyan a és b oldalhosszakkal bír, hogy . Az oldalak arányára az aranymetszés adódik, azaz .

Felosztások Ha a téglalapot felosztják, rendszerint négyzetekre, háromszögekre vagy kisebb téglalapokra osztják fel. Ezen kívül még foglalkoztak egybevágó poliominókkal is.

bélyegkép|32×33-as perfekt téglalap A felosztás tökéletes (perfekt), ha véges sok darab szerepel a felosztásban, és a darabok hasonlók, de nem egybevágók. A háromszögelt téglalapban minden darabnak derékszögű háromszögnek kell lennie. Ilyen felosztást viszonylag nehéz találni: az elsőt 1925-ben fedezte fel Zbigniew Moroń. Az ő felosztásában 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 és 18 oldalhosszú négyzetek szerepelnek.http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html Egy további példája egy 47-szer 65-ös téglalap. 10 négyzet fedi le, oldalhosszai 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 és 25.<

A téglalap oldalai akkor és csak akkor összemérhetők, ha felosztható véges sok nem egybevágó négyzetre. Ez ekvivalens azzal is, hogy a darabok különböző méretű egyenlő szárú háromszögek. Spirálok thumb|Egymásban fekvő spirál alakban elrendezett téglalapok A téglalapok belsejébe is építhetők spirálok, egybevágó derékszögű háromszögekből, melyek elrendezhetők úgy, mint a képen. Az első 12 tagot színekkel ábrázoltuk. Ezáltal egymáshoz hasonló derékszögű háromszögek négy végtelen konvergens sorozata keletkezik, melyek határértéke ugyanaz a pont, és spirál alakban a teljes téglalapot kitöltik. A háromszögek területe a nullához tart.

Ha az eredeti téglalap oldalhosszai a és b, akkor a spirálok területe .Hans Walser: Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren – Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2022, , Seite 78

Jegyzetek

További információk

Weisstein, Eric W., "Rectangle", MathWorld Definíció és tulajdonságok interaktív animációval A téglalap területe interaktív animációval Császár Ákos: Valós analízis

Kapcsolódó szócikkek Négyzet Téglalapszámok Fordítás

Kategória:Négyszögek