A kvantummechanikában a Dirac-egyenlet a relativisztikus kvantummechanika hullámegyenlete, amit Paul Dirac brit fizikus 1928-ban alkotott meg. Az egyenlet az ½ spinű részecskék (mint az elektron) relativisztikus (a speciális relativitáselmélettel konzisztens) kvantummechanikai mozgásegyenlete. Természetes módon magába foglalja a spint; nem egy egyszerűbb, nulla spinű részecskéket leíró egyenlet bővítésével áll elő, mint pédául a Schrödinger–Pauli-egyenlet. A Dirac-egyenletbeli hullámfüggvény értékei négy komplex komponensű spinorok, szemben a Schrödinger-egyenletben szereplő hullámfüggvénnyel, ami komplex szám értékű. Az egyenlet jóslatot tesz az antirészecskék létezésére. Az elektron antirészecske-párját, a pozitront 1932-ben mutatták ki kísérletileg, Dirac ezt követően, 1933-ban kapott Nobel-díjat.
A Dirac-egyenletnek nemcsak pozitív energiájú, az elektronoknak megfeleltethető megoldásai vannak, hanem ezekhez hasonló, de negatív energiájú megoldásai is. Noha az utóbbiak létezése vezetett arra a következtetésre, hogy pozitronoknak is létezniük kell, fizikailag problematikus az, hogy negatív ezeknek a megoldásoknak az energiája. Emiatt a Dirac-egyenlet mint kvantummechanikai hullámegyenlet nem teljesen kielégítő. A kvantumtérelmélet keretei között el lehet kerülni a negatív energiáknak ezt a problémáját; ez a cikk mindazonáltal a Dirac-egyenletet csak a relativisztikus kvantummechanika keretei között tárgyalja.
A Dirac-egyenletbe beírható az elektromágneses (négyes)vektorpotenciál; az így általánosított egyenlet adott elektromágneses térben mozgó ½ spinű töltött részecskéket ír le. Az egyenletbe a pontszerű töltés potenciálját írva kiszámítható a hidrogénatom energiaspektruma. Az eredmény nagy pontossággal (de természetesen nem teljesen pontosan) egyezik a megfigyelhető spektrummal és számot ad a spektrum finomszerkezetéről.
A Dirac-egyenletben szereplő differenciáloperátor (a Dirac-operátor) a matematikában (különösen a differenciálgeometriában) is jelentőséggel bír.
Matematikai forma
Dirac eredetileg a következő formában adta meg az egyenletet:
ahol
m a részecske nyugalmi tömege, c a fénysebesség, az impulzus operátora ( ), a redukált Planck-állandó, x és t a tér- és időkoordináták.
Az egyenletben megjelenő további tagok a 4×4-es és mátrixok, és a Dirac-spinor (négykomponensű hullámfüggvény). A mátrixok mind hermitikusak (ami mátrixok esetén ugyanaz, mint hogy önadjungáltak), továbbá antikommutálnak egymással és négyzetük a 4×4-es egységmátrix ():
ahol és különböző indexek 1-től 3-ig. és nem egyértelműen meghatározott, sokféleképpen meg lehet választani őket. Az egyes választásokat ábrázolásoknak vagy reprezentációknak nevezik.
Összevetve a Dirac-egyenletet a Schrödinger-egyenlet általános alakjával (amely ) látható, hogy a Dirac-féle elméletben a Hamilton-operátor
Kovariáns alak
A szabad Dirac-egyenlet kovariáns alakja
ahol a kétszer szereplő indexekre () összegzünk, a négyesgradiens és 4×4-es mátrixok, melyeket gamma mátrixoknak vagy Dirac-mátrixoknak nevezünk. A gamma mátrixok és a , mátrixok közötti összefüggés a következő:
A gamma mátrixok teljesítik a
antikommutációs relációt, ahol a Minkowski-metrika inverze szignatúrával. hermitikus, antihermitikus (). A differenciáloperátort Dirac-operátornak nevezzük.
A gamma mátrixok explicit alakja a standard ábrázolásban (Dirac-ábrázolás)
melyek a Pauli-mátrixok és a 2×2-es egységmátrix segítségével a következő kompaktabb alakban írhatók:
További két gyakran használt ábrázolása a gamma mátrixoknak a Weyl- (királis) és a Majorana-ábrázolás.
A Dirac-egyenlet kovariáns alakja úgy áll elő a fenti alakból, hogy a jobb oldali tagot átvisszük a bal oldalra, megszorozzuk az egyenletet -vel, alkalmazzuk rá a mátrixot, felhasználjuk, hogy , -t és -t helyettesítjük -lal és -val, helyére beírjuk a kifejezést, és végül a négyesgradienst használva a deriváltakat tartalmazó tagokat az alakban írjuk.
Klein–Gordon-egyenlet
A Dirac-egyenlet megoldásai kielégítik a Klein–Gordon-egyenletet is:
Ez látható az azonosságból, amelyet a gamma mátrixok antikommutációs relációjának felhasználásával kaphatunk meg.
A Dirac-egyenlet megoldásainak ezen tulajdonságából következik, hogy a határozott energiájú és impulzusú megoldások (amelyek alakú síkhullám megoldások, ahol , és négykomponensű komplex vektor) energiája és impulzusa kielégíti a relativisztikus szabad részecskéket jellemző
energia-impulzus relációt (amelyben ).
Dirac-konjugálás
Legyen négykomponensű komplex (oszlop)vektor. Dirac-konjugáltja, amelyre a jelölést használjuk,
ahol a szokásos adjungálást jelöli. négykomponensű sorvektor, mivel az adjungálás transzponálásból és a mátrixelemek komplex konjugálásából áll. -et -lal jobbról megszorozva ismét sorvektort kapunk, ezért is négykomponensű komplex sorvektor.
A Dirac-konjugálás mellett szokásos a Dirac-adjungálás elnevezés is.
A Dirac-egyenletre alkalmazva a Dirac-konjugálást és felhasználva, hogy
előáll a konjugált Dirac-egyenlet
A Dirac-konjugálás jól használható Lorentz-skalár, -vektor és -tenzor mennyiségek képzésére (például , , , , stb.).
Valószínűségi áram
A hullámfüggvényből konstruálható egy olyan négyesáramsűrűség, amely divergenciamentes (megmaradó), ha megoldása a Dirac-egyenletnek, és amelynek a nulladik komponense () pozitív definit. explicit alakja
-t valószínűségi sűrűségként értelmezzük, -t pedig valószínűségi áramsűrűségként. elnevezése valószínűségi négyesáramsűrűség, amit gyakran rövidítenek (szokásos például a valószínűségi áram név).
Ha elegendően gyorsan nullához tart a térbeli végtelenben, akkor a teljes valószínűség véges, és divergenciamentessége () miatt időben állandó.
A Dirac-egyenlet megkonstruálásakor az egyik fő szempont volt az, hogy létezzen egy olyan áram, amit valószínűségi áramként lehet értelmezni. Eleinte a Klein–Gordon-egyenletet () mint komplex skalár hullámfüggvényre vonatkozó egyenletet próbálták relativisztikus kvantummechanikai mozgásegyenletként értelmezni, de ehhez nem sikerült megfelelő valószínűségi áramot találni.
pozitív definitsége a következőképp látható: figyelembe véve a Dirac-konjugált definícióját és azt, hogy ,
ahol a négy komponensét jelöli. A jobb oldalon álló kifejezés nyilvánvalóan nemnegatív és csak akkor nulla, ha .
bizonyításához szorozzuk be a Dirac-egyenletet balról -sal, a konjugált Dirac-egyenletet jobbról -vel, és vonjuk ki a kapott egyenleteket egymásból:
megkapható a Noether-tétel alkalmazásával, és ebből is következik az, hogy , ha megoldása a Dirac-egyenletnek.
Lagrange-függvény
A Dirac-egyenlet előáll Euler–Lagrange-egyenletként; az
Lagrange-sűrűségfüggvényből származó Euler–Lagrange-egyenletek a konjugált Dirac-egyenlet és a Dirac-egyenlet:
A fenti Lagrange-sűrűségfüggvény invariáns a
globális transzformációkra (amelyek hatására ). Az ehhez a szimmetriához tartozó Noether-áram a valószínűségi áram.
Források
J. D. Bjorken, S. D. Drell: Relativistic quantum mechanics. New York, NY : McGraw-Hill (1964) Geszti Tamás: Kvantummechanika. Typotex Kiadó, Budapest (2007) M. E. Peskin, D. V. Schroeder: An introduction to quantum field theory. Reading, MA : Addison-Wesley (1995)
Kapcsolódó szócikkek
Kvantum-elektrodinamika Dirac-spinor Schrödinger-egyenlet Kontinuitási egyenlet Valószínűségi áramsűrűség
További információk
Kategória:Kvantummechanika