Euler-féle lineáris differenciálegyenletnek nevezzük a következő egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típust:
(1)
alakú differenciálegyenletet, ahol és állandók.
Ha , akkor az egyenlet homogén. Ennek alakja tehát:
. (2)
Az Euler-féle differenciálegyenlet az előző pontokban megismert módszerekkel is megoldható, ui.
, ill. (3)
helyettesítéssel állandó együtthatójú differenciálegyenletre vezethető vissza. A (3)-ból
és
.
Behelyettesítve például (2)-be, a
,
ill.
állandó együtthatójú differenciálegyenletet kapjuk. Az Euler-féle homogén differenciálegyenlet az
(4)
kísérletező feltevéssel is megoldható. Ekkor
behelyettesítve (2)-be és -val egyszerűsítve, a
(5)
karakterisztikus egyenletet kapjuk. Ha (5)-nek két különböző valós gyöke van:
és ,
akkor és
lineárisan függetlenek, ezért alaprendszert alkotnak. Így a homogén differenciálegyenlet általános megoldása:
. (6)
Ha (5)-nek két egybeeső gyöke van, akkor a (3) helyettesítés értelmében , s így − ha -gyel jelöljük a kétszeres gyököt −
és
lesz a két lineárisan független megoldás, aminek
és
felel meg, vagyis az általános megoldás:
. (7)
Ha az (5) egyenletnek konjugált komplex gyöke van, akkor a két lineárisan független megoldás:
és .
Az általános megoldás:
, (8)
amelynek egyszerűbb alakot adhatunk a következő átalakítással:
,
s mivel
,
,
ezért
. (9)
Kategória:Differenciálegyenletek