bélyegkép|jobbra|A háromszög-egyenlőtlenség szerint két vektor hosszának összege mindig legalább akkora, mint az összegvektor hossza; egyenlőtlenség csak akkor teljesül, ha a két vektor ugyanabba az irányba mutat
A norma olyan vektortéren vagy függvénytéren értelmezett leképezés, ami a nullvektor kivételével a tér minden vektorához egy pozitív számot rendel. Érvényesek rá a következő, az abszolút értékhez hasonló tulajdonságok:
akkor és csak akkor, ha
-et az normájának nevezzük.
A normát valós vagy komplex vektor- vagy függvénytéren vezetik be. A normával ellátott tereket normált tereknek hívják. A fogalom bevezetésének motivációja a „hosszúság” fogalmának kezelése absztrakt terekben.
A normált terek több fontos analitikus tulajdonsággal bírnak, mivel a norma távolságfüggvényt avagy metrikát, és ezzel topológiát indukál. Ekvivalens normák ugyanazt a topológiát indukálják. Ha egy térten skalárszorzat van értelmezve, akkor az normát indukál. Véges dimenziós vektorterekben minden norma ekvivalens.
A norma definícióját Stefan Banach vezette be 1922-ben disszertációjában. A ma használt norma szimbólumot Erhard Schmidt alkalmazta először 1908-ban a vektorok közötti távolságra. Véges dimenziós vektorterek thumb|Valós szám abszolútértéke, mint norma thumb|Egységgolyó (pirossal) és -gömb (kékkel) az euklideszi normához két dimenzióban Számnormák Egy szám abszolútértéke egy egyszerű példa a normára. Az abszolútérték az előjel elhagyásával kapható, azaz
Egy komplex szám abszolútértéke
ahol a szám komplex konjugáltja, a valós része és a képzetes része. Egy komplex szám abszolútértéke megfelel a vektorának a hosszának a Gauß-féle számsíkon.
Az abszolútérték-normát két valós, illetve komplex szám skalárszorzata indukálja:
ha illetve ha
Vektornormák Véges dimenzióban minden norma ekvivalens, azaz ugyanazok a sorozatok konvergensek minden normában. Példa Egy szabványos példa az euklideszi norma. Például az síkban az vektor normája:
,
ami megfelel a szokásos, Pitagorasz-tétellel számítható vektorhosszúságnak. p-normák thumb|Különböző -normák egységgömbjei két dimenzióban Az n dimenziós valós (és komplex) vektortereken többnyire a p-normákat (Hölder-normák) használják:
A -normák egységgömbjei két dimenzióban szub- illetve szuperellipszisek alakját öltik. Három dimenzióban szub-, illetve szuperellipszoidok.
A -normák teljesítik a Minkowski-egyenlőtlenséget és a Hölder-egyenlőtlenséget. Növekvő -re monoton csökkennek. A határoló tényezők esetén:
,
ahol a maximumnorma esetén a helyettesítést kell végezni. Így a -normák egymástól legfeljebb egy -es tényezőben különbözhetnek.
Az analóg módon tényezővel számolt mennyiségek megsértik a háromszög-egyenlőtlenséget, a belőlük számított gömb konkáv.
Különösen gyakran fordulnak elő az 1-es, a 2-es és a végtelen-normák.
1-es norma Az 1-norma: .
Két dimenzióban a normagömb négyzet, három dimenzióban oktaéder, magasabb dimenzióban keresztpolitóp.
A belőle származó távolságot nevezik Manhattan-metrikának vagy taximetrikának, mivel olyan utak mentén méri a távolságokat, amelyek nem mehetnek ferdén, azaz minden szakaszuk párhuzamos a koordinátatengelyekkel. Például -ben a szakaszok csak vízszintesek és függőlegesek lehetnek. 2-es norma A 2-norma:
Skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy skalárszorzat, amivel teljesül, hogy , valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaazonosság, és komplex terekben a polarizációs formula.
A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaszabállyal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.
Két dimenzióban a normagömb kör, három dimenzióban gömb, magasabb dimenzióban hipergömb. Két és három dimenzióban a szokásos vektorhossznak felel meg. Unitér transzformációk, például az origó körüli forgatások egyedüliként ezt a normát őrzik meg. Az euklideszi normával ellátott vektortereket euklideszi vektortereknek nevezik. Belőle származik az euklideszi metrika, ahol a távolságok Pitagorasz-tétellel számíthatók.
Végtelennorma Értelmeznek -normát is, ahol
Határértékként is megkapható a p-normákból, ahol p tart a végtelenbe. Nevezik Csebisev-normának is. Két dimenzióban a normagömb négyzet, három dimenzióban kocka, magasabb dimenzióban hiperkocka.
A belőle származó metrikát nevezik maximummetrikának, Csebisev-metrikának vagy német szaknyelvben sakktáblametrikának is, ugyanis szemléletesen azoknak a lépéseknek a számát jelenti, ahány lépéssel az egyik pontból egy királlyal egy másik pontba lehet eljutni. Ennek során a király átlósan is léphet.
Az dimenziós maximumnorma előáll szorzatnormaként a téren, ahol vektorterek, és .
Mátrixnormák Mátrixnormák esetén gyakran megkövetelik még a szubmulitiplikativitást:
Ha egy mátrixnorma szubmultiplikatív, akkor a mátrix spektrálrádiusza (a legnagyobb abszolútértékű sajátérték abszolútértéke) nem nagyobb, mint a norma. Vannak azonban olyan mátrixnormák, melyek teljesítik a szokásos normatulajdonságokat, de nem szubmultiplikatívak. Egy mátrixnorma kompatibilis egy vektornormával, ha
minden esetén.
Vektornorma által indukált mátrixnorma thumb|Egy 2 × 2-es mátrix spektrálnormája megfelel az egységkör legnagyobb nyújtásának A vektornormák mátrixnormákat indukálnak:
Itt a sup helyett maximum is írható. A linearitás folytán elég az 1 normájú vektorokat tekinteni, és mivel ez kompakt halmaz, a folytonos függvény felveszi a maximumát. Ez az a maximális érték, amivel a mátrix megnyújt egy vektort. Kompatibilis azzal a vektornormával, amiből származik.
Az indukált mátrixnormákra teljesül:
Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a végtelen normát használják.
Az 1-es norma által indukált mátrixnorma az oszlopösszegnorma, vagy röviden oszlopnorma:
A végtelen norma a sorösszegnormát, más néven a sornormát indukálja:
A 2-es norma indukálta mátrixnorma: , azaz a mátrix legnagyobb szinguláris értéke. A képletben a mátrix konjugált transzponáltja, és az szorzatmátrix abszolút értékben legnagyobb sajátértéke.
Vektornormák fölötti mátrixnormák Ezek a vektornormák úgy állnak elő, hogy a mátrixot vektorként tekintjük, és alkalmazzuk rá az adott vektornormát. Például a Frobenius-norma a 2-es normából áll elő: -es A mátrixra:
A maximumnormára az összegnorma alapul. Mindkettő szubmultiplikatív, és kompatibilis az euklideszi normával. Szinguláris értékek fölötti normák Egy további lehetőség, ha tekintjük a mátrix szinguláris érték felbontását, azaz az előállítást, ahol unitér, diagonális, pedig adjungált unitér. Ekkor a mátrix átlóján szereplő értékek nemnegatív valós számok, és az mátrix szinguláris értékeinek nevezzük őket. Megegyeznek az mátrix sajátértékeinek négyzetgyökeivel. A szinguláris értékeket betesszük egy vektorba, és ennek vesszük valamelyik normáját, tehát
.
Erre a típusra példák az árnyéknormák, melyek a szinguláris értékekből alkotott vektor -normái, illetve a Ky–Fan-normák, melyek a legnagyobb szinguláris értékek összegén alapulnak. Nevezetesen, a -adik Ky–Fan-norma a legnagyobb szinguláris érték összege.
Végtelen dimenziós vektorterek, függvényterek Sorozatterek Ha sorozatok normájáról esik szó, akkor csak valós vagy komplex elemekből álló sorozatokat tekintenek, ahol és minden esetén. Ezzel a sorozatok a véges dimenziós vektorok általánosításai. Mivel a sorozatokban végtelen sok nullától különböző elem lehet, azért a vektornormák nem vihetők át közvetlenül a sorozatokra. Például lehet, hogy nincs maximális abszolútértékű tag vagy az összes tag összege nem konvergens. Hasonlóan nincs biztosítva a tagok négyzetéből képzett sor konvergenciája. Éppen ezért a normákat rendszerint nem az összes valós vagy komplex sorozatra vezetik be, hanem alkalmas alterekre. -terek Az -terek azokból a sorozatokból állnak, amelyekben a tagok abszolút értékes p-edik hatványának összege konvergens.
és
A véges dimenziós esethez hasonlóan értelmezik a p-normákat:
p véges
és p végtelen, ami a szuprémumnorma korlátos sorozatokra.
Az -terek az -normákkal ellátva teljes normált terek. Az -tér Hilbert-tér, az skalárszorzattal.
A korlátos sorozatok tere, ; a konvergens sorozatok tere, ; és a nullához tartó sorozatok (nullsorozatok) tere, a szuprémumnormával ellátva teljes normált terek. Egy -norma duális normája egy norma, ahol , ha . Az térnek nem az tér a duálisa, hanem a konvergens sorozatok tere és a nullsorozatok tere a szuprémumnormával. bv-norma Egy korlátos változású sorozat -normája:
.
A -normával a korlátos változású sorozatok tere teljes normált tér, mivel minden korlátos változású sorozat Cauchy-sorozat is. A korlátos változású nullsorozatok terén értelmezhető a -norma az első tag elhagyásával:
,
amely normával a tér teljes. Függvénynormák A következőkben egy adott halmazon értelmezett valós, illetve komplex értékű függvényeket tekintünk. Az halmaz gyakran topologikus tér, hogy lehessen folytonosságról beszélni. Sok alkalmazásban az részhalmaza. A sorozatokhoz hasonlóan a függvények is lehetnek végtelenek, így szintén nem értelmezünk normákat az összes függvényre. A legfontosabb alterek a korlátos, folytonos, integrálható vagy differenciálható függvények tere. Általánosabban Banach-terekbe is képezhetnek a függvények, ahol az abszolútérték szerepét a Banach-tér normája veszi át. Lp-normák Az Lp-terek azokat a függvényeket tartalmazzák, amiknek a p-edik hatványa integrálható. Ha ezekre a függvényekre vesszük az analóg leképezést:
,
akkor egy úgynevezett félnormát kapunk, mert ez az integrál nemcsak az azonosan nulla függvényre nulla, hanem azokra is, amik majdnem mindenhol nullát vesznek fel. Tekintsük ekvivalensnek azokat a függvényeket, amik majdnem mindenütt egyenlők. Ezeken az ekvivalenciaosztályokon ez az integrál norma. A Fischer–Riesz-tétel miatt az -normával az -terek teljes normált terek. Az tér a Lebesgue-integrálható függvények ekvivalenciaosztályainak tere.
Többnyire itt is az 1-es, a 2-es és a határértékként kapható végtelen normát használják, bár előfordulnak fizikai példák más p-kre, mint a hősugárzási egyenlet megoldása az L5-térben.
A 2-es norma skalárszorzatból származik. Ez azt jelenti, hogy van egy skalárszorzat, amivel teljesül, hogy: . Valamint teljesül rá a Pitagorasz-tétel, a paralelogrammaazonosság, és komplex terekben a polarizációs formula. Ez a skalárszorzat
amivel az tér Hilbert-tér.
A többi normához nincs ilyen skalárszorzat: a paralelogrammaazonossággal egyetlen jelölt adódik. A skalárszorzat tulajdonságait ellenőrizve kiderül, hogy nem teljesíti ezeket a tulajdonságokat.
Az határértékeként adódik a lényegében korlátos függvények tere. Az esetben az -normával duális norma az -norma, ahol . Az -normák és terek a Lebesgue-mértékkel kiterjeszthetők mértékké, ahol a dualitás esetén csak bizonyos mértékterekben teljesül.
Szuprémumnorma A szuprémumnorma korlátos függvényeken értelmezett, ahol korlátos az a függvény, melynek képe korlátos részhalmaza, definíció szerint
.
A korlátos függvények halmaza a szuprémumnormával teljes normált tér. Maximumnorma Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény maximumnormája:
.
A Weierstrass-szélsőértéktétel miatt kompakt halmazon értelmezett folytonos függvény felveszi a szuprémumát. Egy adott kompakt halmazon értelmezett folytonos függvények tere teljes normált teret alkot a maximumnormával. Lényegi szuprémumnorma Egy mértéktéren majdnem mindenütt korlátos függvény -normája
,