Carriera Nato a Maribor nel 1979, ha diretto la sua prima partita nel maggio 2007, valida per la Prva slovenska nogometna liga; mentre nella stagione 2008-2009 è entrato a far parte della rosa regolare degli arbitri della massima divisione slovena.
Nel marzo 2010 fa il suo debutto internazionale, venendo chiamato a dirigere una partita tra le selezioni Under-17 di Galles e Turchia, valida per le qualificazioni all'europeo Under-17 di quell'anno. Sempre nello stesso anno debutta in UEFA Europa League dirigendo una gara del primo turno di qualificazione tra e ; mentre nel novembre 2011 dirige la prima gara tra nazionali maggiori, in occasione dell'incontro amichevole tra e (0-0).
Dalla sua nomina ad arbitro internazionale, Vinčić è stato nominato per diversi tornei, supportando il suo connazionale Damir Skomina come giudice di porta agli europei del 2012 e del 2016, in un totale di sei gare.
Nel giugno 2017 è chiamato a dirigere agli europei Under-21 del 2017.
Il 30 aprile 2018 è stato designato come addizionale per la semifinale di UEFA Champions League 2017-2018 tra e assieme a Damir Skomina e Matej Jug.
Il 21 aprile 2021 viene chiamato a dirigere gli europei del 2021 con Tomaž Klančnik e Andraž Kovačič come assistenti. Nella competizione dirige tre gare: due della fase a gironi (- e -) e un quarto di finale (-), fornendo buone prestazioni.
L'11 maggio 2022 viene designato per dirigere la finale di Europa League -.
Il 23 aprile 2024 la UEFA lo ha convocato per il in Germania, agli assistenti Tomaž Klančnik e Andraž Kovačič, al VAR Nejc Kajtazović, ed ai colleghi Rade Obrenović e Jure Praprotnik nel ruolo di quarto ufficiale o riserva di assistente arbitrale.
Il 13 maggio 2024 viene designato per dirigere la finale di Champions League -.
Inserito nella lista degli arbitri del , è stato impiegato in due incontri della fase a gironi (Brasile-Marocco e Giordania-Algeria), in un sedicesimo di finale (Messico-Ecuador) e nella finale Spagna-Argentina. Grazie a tale designazione è divenuto il primo arbitro sloveno ad essere designato per l'ultimo atto di un campionato mondiale.
Il 26 luglio 2026, una settimana dopo aver diretto la finale dei Mondiali 2026, annuncia ufficialmente il suo ritiro.
Controversie
Il 28 maggio 2020, nel corso di un'indagine legata alla prostituzione, viene arrestato dalla polizia slovena mentre si trovava in un casolare a Bijeljina, Bosnia ed Erzegovina. Trattandosi di un errore giudiziario, venne rilasciato subito dopo l'arresto in quanto totalmente estraneo ai fatti, riferendo in seguito di essersi trovato lì perché invitato a cena, ignaro della situazione circostante.
Note
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