Il teorema di Bieberbach è un risultato chiave nella teoria delle varietà piatte compatte: esso riconduce la classificazione di tali varietà a quella del rispettivo gruppo fondamentale. Prende il nome dal matematico tedesco Ludwig Bieberbach, che nel 1910 con tale teorema risolse parzialmente il 18° problema di Hilbert.

Gruppi di Bieberbach Sia un sottogruppo del gruppo euclideo tale che lo spazio sia una varietà -dimensionale. Essendo l'azione di su necessariamente libera, il gruppo deve essere libero da torsione, e dunque infinito.Dal teorema di Lagrange, un gruppo finito è sempre di torsione.

Esso è detto gruppo di Bieberbach se è un gruppo cristallografico, cioè se è discreto e cocompatto.

Se è un gruppo di Bieberbach, allora è una varietà piatta compatta. Viceversa, se è una varietà Riemanniana -dimensionale piatta connessa e completa, esiste un sottogruppo discreto e libero da torsione del gruppo euclideo tale che è isometricamente equivalente a ; se la varietà è inoltre compatta, il gruppo è di Bieberbach.

Enunciato

Il teorema si compone di tre distinte asserzioni:

1. Una varietà piatta compatta -dimensionale è rivestita dal toro -dimensionale, e tale rivestimento è un'isometria locale; in altre parole, il gruppo fondamentale di una varietà piatta compatta è un gruppo di Bieberbach. Inoltre, il gruppo di olonomia è finito.

2. Due varietà piatte compatte i cui gruppi fondamentali sono isomorfi sono affinemente equivalenti.Date due varietà differenziabili e dotate di rispettive connessioni e , un'equivalenza affine è un diffeomorfismo preservante la connessione, ovvero tale che .

3. A meno di equivalenze affini, esiste solo un numero finito di classi di varietà piatte compatte.

Classificazione

Il numero di gruppi di Bieberbach in dimensione è: 1, 2, 10, 74, 1060, 38746. L'unica varietà piatta compatta 1-dimensionale è la circonferenza, mentre per si hanno il toro e la bottiglia di Klein; in generale il toro -dimensionale è sempre una varietà piatta compatta.

Note

Bibliografia

Voci correlate Azione di gruppo#Azioni su spazi topologici Connessione (matematica)

Categoria:Geometria differenziale Categoria:Teoremi di matematica