In matematica, la piramide di Pascal (o tetraedro di Tartaglia) è una disposizione tridimensionale dei coefficienti dello sviluppo trinomiale e della distribuzione trinomiale. La piramide di Pascal è l'analogo tridimensionale del triangolo di Tartaglia bidimensionale, che contiene i coefficienti binomiali che appaiono nello sviluppo binomiale e nella distribuzione binomiale. I coefficienti, gli sviluppi e le distribuzioni binomiali e trinomiali sono sottoinsiemi dei costrutti multinomiali con gli stessi nomi.
Struttura del tetraedro Poiché il tetraedro è un oggetto tridimensionale, mostrarlo su un foglio di carta, su uno schermo di computer o su un altro mezzo bidimensionale è difficile. Si supponga che il tetraedro sia diviso in un certo numero di livelli, piani, fette o strati. Il livello superiore (il vertice) è etichettato "Livello 0". Gli altri livelli possono essere pensati come viste dall'alto del tetraedro con i livelli precedenti rimossi. I primi sei livelli sono i seguenti:
Livello 0 1 Livello 1 1 1 1 Livello 2 1 2 1 2 2 1 Livello 3 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 Livello 4 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1 Livello 5 1 5 10 10 5 1 5 20 30 20 5 10 30 30 10 10 20 10 5 5 1 I livelli del tetraedro sono stati deliberatamente mostrati con la punta rivolta verso il basso in modo da non essere singolarmente confusi con il triangolo di Tartaglia.
Panoramica del tetraedro Vi è una simmetria a tre vie dei numeri in ogni livello. Il numero di termini nell'-esimo livello è l'-esimo numero triangolare: . La somma dei valori dei numeri nell'-esimo livello è . Ogni numero in qualsiasi livello è la somma dei tre numeri adiacenti nel livello sovrastante. Ogni numero in qualsiasi livello ha un rapporto intero semplice con i numeri adiacenti nello stesso livello. Ogni numero in qualsiasi livello è un coefficiente della distribuzione trinomiale e dello sviluppo trinomiale. Questa disposizione non lineare rende più semplice: mostrare lo sviluppo trinomiale in modo coerente; calcolare i coefficienti della distribuzione trinomiale; calcolare i numeri di qualsiasi livello del tetraedro. I numeri lungo i tre spigoli dell'-esimo livello sono i numeri dell'-esima riga del triangolo di Tartaglia. E quasi tutte le proprietà elencate sopra hanno dei parallelismi con il triangolo di Tartaglia e i coefficienti multinomiali.
Connessione con lo sviluppo trinomiale I numeri del tetraedro derivano dallo sviluppo trinomiale. L'-esimo livello è costituito da tutti i coefficienti che si ottengono quando il trinomio viene elevato all'-esima potenza. L'-esima potenza del trinomio viene espansa moltiplicando ripetutamente il trinomio per sé stesso:
Ogni termine nella prima espressione viene moltiplicato per ogni termine nella seconda espressione; successivamente i coefficienti dei termini simili (stesse variabili ed esponenti) vengono sommati. Ecco lo sviluppo di :
Scrivere lo sviluppo in questo modo non lineare mostra l'espansione in modo più comprensibile. Rende anche ovvia la connessione con il tetraedro: i coefficienti qui corrispondono a quelli del livello 4. Tutti i coefficienti, le variabili e gli esponenti impliciti, che normalmente non vengono scritti, sono mostrati per illustrare un'altra relazione con il tetraedro. (Di solito, "1A" è "A"; "B1" è "B"; e "C0" è "1"; ecc.). La somma degli esponenti di ogni termine è uguale al numero n del livello, ossia 4 in questo caso. Più significativamente, il valore dei coefficienti di ogni termine può essere calcolato direttamente dagli esponenti. La formula è
dove x, y, z sono rispettivamente gli esponenti di A, B, C, e "!" è il fattoriale. Le formule degli esponenti per il 4º livello sono:
Gli esponenti di ogni termine dello sviluppo possono essere visti chiaramente e queste formule si semplificano nei coefficienti dello sviluppo e nei coefficienti del livello 4 del tetraedro.
Connessione con la distribuzione trinomiale I numeri del tetraedro possono essere trovati anche nella distribuzione trinomiale. Questa è una distribuzione di probabilità discreta utilizzata per determinare la possibilità che si verifichi una determinata combinazione di eventi date tre possibili esiti: il numero di modi in cui gli eventi potrebbero verificarsi viene moltiplicato per le probabilità che si verifichino. La formula per la distribuzione trinomiale è:
dove x, y, z indicano il numero di volte in cui si verifica ciascuno dei tre esiti; n è il numero di prove ed è uguale alla somma di x+y+z; e PA, PB, PC sono le probabilità che ciascuno dei tre eventi si verifichi.
Ad esempio, in un'elezione a tre, i candidati hanno ottenuto questi voti: A, 16%; B, 30%; C, 54%. Qual è la probabilità che un focus group di quattro persone scelto a caso contenga i seguenti elettori: 1 per A, 1 per B, 2 per C? La risposta è:
Il numero 12 è il coefficiente di questa probabilità ed è il numero di combinazioni che possono formare questo focus group "112". Ci sono 15 diverse composizioni possibili per focus group di quattro persone. Le espressioni per tutti i 15 coefficienti sono:
Il numeratore di queste frazioni (sopra la linea di frazione) è lo stesso per tutte le espressioni. È la dimensione del campione, un gruppo di quattro persone, e indica che i coefficienti di queste disposizioni si trovano sul livello 4 del tetraedro. I tre numeri del denominatore (sotto la linea) sono il numero dei membri del focus group che hanno votato rispettivamente per A, B e C.
Normalmente viene utilizzata una notazione abbreviata per esprimere le funzioni combinatorie nel seguente formato (che si legge "4 su 4, 0, 0", ecc.).
Tuttavia, il valore di queste espressioni è ancora uguale ai coefficienti del 4º livello del tetraedro. E possono essere generalizzate a qualsiasi livello modificando .
Questa notazione fornisce un modo semplice per esprimere la somma di tutti i coefficienti del livello :
.
Somma dei coefficienti tra i livelli I numeri in ogni livello del tetraedro sono la somma dei tre numeri adiacenti nel livello "sopra" di esso. Questa relazione è piuttosto difficile da vedere senza mescolare i livelli. Di seguito sono riportati i numeri del livello 3 in corsivo intercalati tra i numeri in grassetto del livello 4: 1 4 6 4 1 1 3 3 1 4 12 12 4 3 6 3 6 12 6 3 3 4 4 1 1
La relazione è illustrata dal numero inferiore e centrale 12 del 4º livello. È "circondato" da tre numeri del 3º livello: 6 a "nord", 3 a "sud-ovest", 3 a "sud-est". (I numeri lungo il bordo hanno solo due numeri adiacenti nel livello "superiore" e i tre numeri agli angoli hanno un solo numero adiacente nel livello superiore, motivo per cui sono sempre "1". I numeri mancanti possono essere considerati come "0", quindi non c'è perdita di generalità). Questa relazione tra i livelli adiacenti deriva dal processo di sviluppo trinomiale in due fasi.
Continuando con questo esempio, nel Passaggio 1, ogni termine di (A + B + C)3 viene moltiplicato per ciascun termine di (A + B + C)1. Solo tre di queste moltiplicazioni sono di interesse in questo esempio:
Termine del livello 3 Moltiplicato per Prodotto 6A1B1C1 1B1 6A1B2C1 3A1B2C0 1C1 3A1B2C1 3A0B2C1 1A1 3A1B2C1
Poi nel Passaggio 2, la somma dei termini simili (stesse variabili ed esponenti) produce: 12A1B2C1, che è il termine di (A + B + C)4; mentre 12 è il coefficiente del 4º livello del tetraedro.
Simbolicamente, la relazione additiva può essere espressa come:
dove è il coefficiente del termine con esponenti x, y, z e è il livello del tetraedro.
Questa relazione funzionerà solo se lo sviluppo trinomiale è disposto nel modo non lineare descritto nella sezione sulla "connessione con lo sviluppo trinomiale".
Rapporto tra i coefficienti dello stesso livello In ogni livello del tetraedro, i numeri sono in rapporti interi semplici rispetto ai numeri adiacenti. Questa relazione è illustrata per coppie orizzontalmente adiacenti sul 4º livello dai seguenti:
Poiché il tetraedro ha una simmetria a tre vie, la relazione di proporzionalità vale anche per le coppie diagonali in entrambe le direzioni, oltre che per le coppie orizzontali mostrate.
I rapporti sono determinati dagli esponenti dei corrispondenti termini adiacenti nello sviluppo trinomiale. Per esempio, un rapporto nell'illustrazione sopra è: 4 ⟨ 1:3 ⟩ 12 I termini corrispondenti dello sviluppo trinomiale sono:
Le seguenti regole si applicano ai coefficienti di tutte le coppie di termini adiacenti nello sviluppo trinomiale: L'esponente di una delle variabili rimane invariato (B in questo caso) e può essere ignorato. Per le altre due variabili, un esponente aumenta di 1 e uno diminuisce di 1. Gli esponenti di A sono 3 e 2 (il maggiore si trova nel termine di sinistra). Gli esponenti di C sono 0 e 1 (il maggiore si trova nel termine di destra). I coefficienti e gli esponenti maggiori sono correlati: 4 × 3 = 12 × 1 4 / 12 = 1 / 3 Queste equazioni producono il rapporto: "1:3". Le regole sono le stesse per tutte le coppie orizzontali e diagonali. Le variabili A, B, C cambieranno.
Questa relazione di proporzionalità fornisce un altro modo (un po' macchinoso) per calcolare i coefficienti del tetraedro: Il coefficiente del termine adiacente è uguale al coefficiente del termine corrente moltiplicato per l'esponente della variabile decrescente del termine corrente, diviso per l'esponente della variabile crescente del termine adiacente. Il rapporto dei coefficienti adiacenti potrebbe essere un po' più chiaro se espresso simbolicamente. Ogni termine può avere fino a sei termini adiacenti:
Per x = 0: Per y = 0: Per z = 0:
dove è il coefficiente e x, y, z sono gli esponenti. Ai tempi precedenti alle calcolatrici tascabili e ai computer, questo approccio veniva utilizzato come scorciatoia scolastica per scrivere gli sviluppi binomiali senza ricorrere a noiose espansioni algebriche o a laboriosi calcoli con i fattoriali.
Questa relazione funzionerà solo se lo sviluppo trinomiale è disposto nel modo non lineare illustrato nella sezione sulla "connessione con lo sviluppo trinomiale".
Relazione con il triangolo di Tartaglia È ben noto che i numeri lungo i tre bordi esterni dell'-esimo livello del tetraedro sono gli stessi numeri dell'-esima riga del triangolo di Tartaglia. Tuttavia, il legame è in realtà molto più profondo di una singola riga di numeri. Questa relazione si illustra al meglio confrontando il triangolo di Tartaglia fino alla riga 4 con il livello 4 del tetraedro.
Moltiplicando i numeri di ogni riga del triangolo di Tartaglia giù fino all'-esima riga per i numeri dell'-esima riga si genera l'-esimo livello del tetraedro. Nel seguente esempio, le righe del triangolo di Tartaglia sono in corsivo e le righe del tetraedro sono in grassetto.
I moltiplicatori (1 4 6 4 1) compongono la riga 4 del triangolo di Tartaglia.
Questa relazione dimostra il modo più rapido e semplice per calcolare i numeri per qualsiasi livello del tetraedro senza calcolare i fattoriali, che diventano rapidamente numeri enormi. Le calcolatrici a precisione arbitraria diventano molto lente oltre il livello 200 del tetraedro.
Se i coefficienti del triangolo di Tartaglia sono indicati con e i coefficienti del tetraedro sono indicati con dove è il livello del tetraedro, è la riga e è la colonna, allora la relazione può essere espressa simbolicamente come:
qui i, j, n non sono esponenti, ma solo indici di etichettatura sequenziali.
Altre proprietà Costruzione esponenziale Un livello arbitrario può essere ottenuto in un singolo passaggio usando la seguente formula:
dove b è la base e d è il numero di cifre di uno qualsiasi dei coefficienti multinomiali centrali, ossia
quindi incapsulando le cifre del suo risultato per d(n+1), distanziando per d e rimuovendo gli zeri iniziali.
Questo metodo, generalizzato a una dimensione arbitraria, può essere utilizzato per ottenere le fette di qualsiasi simplesso di Pascal.
Esempi Per base b = 10, n = 5, d = 2:
= 10000000001015