In statistica e nella teoria dei codici, uno spazio di Hamming è solitamente l'insieme di tutte le stringhe binarie di lunghezza N, in cui due stringhe sono considerate adiacenti quando differiscono solo in una posizione. La distanza totale tra due qualsiasi stringhe binarie, chiamata distanza di Hamming, è quindi il numero totale di posizioni in cui i loro bit corrispondenti sono diversi. Gli spazi di Hamming prendono il nome dal matematico americano Richard Hamming, che introdusse il concetto nel 1950. Essi sono utilizzati nella codifica dei segnali e nella loro trasmissione.
Più in generale, uno spazio di Hamming può essere definito su qualsiasi alfabeto (insieme) Q come l'insieme delle parole di lunghezza fissa N contenente lettere di Q. Se Q è un campo finito, allora uno spazio di Hamming su Q è uno spazio vettoriale N-dimensionale su Q. Nel caso tipico, binario, il campo è quindi GF(2) (indicato anche con Z2).
Nella teoria dei codici, se Q ha q elementi, allora qualsiasi sottoinsieme C (di solito si assume di cardinalità almeno 2) dello spazio di Hamming N-dimensionale su Q è chiamato codice q-ario di lunghezza N; gli elementi di C sono chiamati parole in codice. Nel caso in cui C sia un sottospazio lineare del suo spazio di Hamming, esso si dice codice lineare. Un tipico esempio di codice lineare è il codice di Hamming. I codici definiti tramite uno spazio di Hamming hanno necessariamente la stessa lunghezza per ogni parola in codice, quindi sono chiamati codici a blocchi quando è necessario distinguerli dai codici a lunghezza variabile che sono definiti da una fattorizzazione unica su un monoide.
La distanza di Hamming dota uno spazio di Hamming di una metrica che è essenziale per definire nozioni di base della teoria dei codici come i codici a rilevamento e correzione degli errori.
Si possono considerare anche spazi di Hamming su alfabeti che non costituiscono campi, in particolare su anelli finiti (specialmente su Z4) che danno origine a moduli invece di spazi vettoriali e codici lineari su anello (che corrispondono a sottomoduli) invece di codici lineari. La metrica tipica utilizzata in questo caso è la distanza di Lee. Esiste un'isometria di Gray tra (ossia GF(22m)) con la distanza di Hamming e (indicato anche come GR(4,m)) con la distanza di Lee.
Note
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